Démontrer que les médianes d’un triangle sont concourantes.
Méthode 1
A
C’
B
G
A’
A’’
C
Par on trace la parallèle à la médiane '. Soit '' l'intersection de cette parallèle avec la médiane '.
Par Thalès : ' car ' est le milieu de est le milieu de ' De même : ' ' '' car
B CC A
AA
AG GA C AB G AA
GA A A
' est le milieu de ' est le milieu de '' On en déduit que ' ' c'est-à-dire que est au tiers de '.
3
Par un raisonnement identique on montre que ' ' est au tiers de ' 3
On recommence
A BC A GA
A G AA G AA
CC
C G G CC
avec la troisième médiane, et on conclut que les trois médianes sont concourantes en , qui est aussi le centre de gravité du triangleG
Méthode 2
A
C’
B
G
A’ C
M
N
Soit l'intersection des médianes ' et '. Soient le milieu de et le milieu de .
Par Thalès, on déduit que ' ' est parallèle à avec ' ' 1 2 De même, est parallèle à avec 1
2 P
G AA CC M AG N
CG
C A AC C A AC
MN AC MN AC
ar conséquent, ' ' est un parallélogramme et est le point d'intersection des diagonales de ce parallélogramme, les diagonales se coupant en leur milieu.
On en déduit que est au tiers de ' et
A C MN G
G AA CC'.
On recommence avec la troisième médiane et on conclut que les trois médianes sont concourantes.
