D343 – Décomptes d’ébéniste amateur [*** à la main]
Puce a confectionné un joli polyèdre convexe P₁ en noyer dont deux des faces sont identiques et parallèles entre elles. Zig scie délicatement une petite pointe à chaque sommet de P₁ sans que les découpes interfèrent entre elles. Il obtient un nouveau polyèdre P₂ dont il compte les sommets, les arêtes et les faces. L’un des trois entiers qu’il a calculés est égal à 23.
Q₁ Quel est le nombre d’arêtes de P₁ ? Q₂ Décrire un exemple simple de P₁.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Si P1 a f faces, s sommets et a arêtes, et P2 respectivement F, S et A, la "petite" découpe de chaque sommet a rajouté une face, F = f +s et d'après la formule de Descartes-Euler : F = f + s = a+2.
Si F est le paramètre qui est égal à 23, alors le nombre d'arêtes de P1 est 21 . Q2
P1 peut être un prisme heptagonal. (9 faces, 14 sommets, 21 arêtes).