Soit I =]a, b[ un intervalle ouvert et γ :I →R2une courbe r´eguli`ere de classeC∞param´etr´ee par l’abscisse curviligne

Universit´e d’Orl´eans 11 Janvier 2010 D´epartement de Math´ematiques

M1MA06 G´eom´etrie Diff´erentielle

Examen Probl`eme

On oriente R² par sa base canonique (i,j). Soit I =]a, b[ un intervalle ouvert et γ :I →R²une courbe r´eguli`ere de classeC^∞param´etr´ee par l’abscisse curviligne.

Pours ∈I, on note T(s) le vecteur tangent unitaire de γ en s et N(s) le vecteur d´eduit deT(s) par une rotation de π/2.

1) Rappeler la d´efinition de la courbure alg´ebrique, not´ee κ_a(s), de γ en s.

2) On ´ecritγ(s) = (f(s), g(s)) pours∈I. Donner l’expression deT(s) et deN(s).

V´erifier que

f⁰⁰(s) =−κa(s)g⁰(s) g⁰⁰(s) = κa(s)f⁰(s).

3) On suppose dans la suite que f(s) > 0 pour tout s ∈ I. On consid`ere l’application

ϕ:I×R →R³

(u, v)7→ϕ(u, v) = (f(u) cosv, g(u), f(u) sinv).

Montrer, en donnant un atlas de cartes, que l’imageSdeϕest une surface r´eguli`ere dans R³. Montrer que S est orientable. Fixer une orientation de S.

4) a) Calculer la premi`ere et la deuxi`eme forme fondamentales de S.

b) D´emontrer les ´egalit´es

K(u, v) =−f⁰⁰(u)

f(u) , H(u, v) = 2 h

κ_a(u) + g⁰(u) f(u) i

(o`u = ±1 suivant le choix de l’orientation), K et H ´etant respectivement les courbures gaussienne et moyenne deS.

5) Dans cette question, on consid`ere la courbe param´etr´eeα :]0, π/2[→R² donn´ee par

α(t) = (x(t) = cost, y(t) = log(tan(t/2 +π/4))−sint).

Calculer ^ds_dt, o`u s est l’abscisse curviligne. En d´eduire le calcul de la courbure de Gauss de la surfaceS construite `a partir de cette courbe par le proc´ed´e d´ecrit en 3).

6) On revient `a la situation g´en´erale. Montrer que la courbure moyenne H de S est identiquement nulle si et seulement sif est solution de l’´equation diff´erentielle

f⁰⁰f+f⁰² = 1.

Question facultative : si vous avez fait tout le reste, donner la solution g´en´erale de cette ´equation ; en d´eduire les courbes param´etr´ees par l’abscisse curviligne u7→(f(u), g(u)) pour lesquelles H ≡0.

Exercice 1

1) Rappeler la d´efinition d’une courbe g´eod´esique d’une surface r´eguli`ere dansR<sup>3</sup>. 2) Montrer que le cylindreC d’´equation x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> = 1 est une surface r´eguli`ere dans R³.

3) Donner une isom´etrie locale du plan R² sur le cylindre C.

4) Montrer que pour tout a, b, c, d∈R, la courbe param´etr´ee α(t) = (cos(at+b),sin(at+b), ct+d)

est une g´eod´esique du cylindreC. (Indication : on pourra utiliser 3).)

5) Montrer que les grands cercles d’une sph`ere sont des courbes g´eod´esiques de la sph`ere.

Exercice 2

On consid`ere l’h´emisph`ere nord

S ={(x, y, z)∈R³ :x²+y²+z² = 1 et z ≥0}

et le cercle de l’´equateur

γ ={(x, y,0)∈R³ :x²+y² = 1}.

1) Donner les orientations standard de S et de γ. On supposera S et γ munis de ces orientations.

2) Calculer de deux mani`eres l’int´egrale R

γω o`u ω est la 1-forme sur R³ donn´ee parω = (x+y)dz+ (y+z)dx+ (z+x)dy : d’une part par un calcul direct, d’autre part en utilisant S et la formule de Stokes.

3) CalculerR

Sz²dx∧dy en choisissant une param´etrisation de S.

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