S´ EANCE 12 : COURBE PARAM´ ETR´ EE

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S´ EANCE 12 : COURBE PARAM´ ETR´ EE

12.1. D´efinition

Soit I un intervalle dans R. On appelle courbe paramétrée de classe C⁰ dans R^d toute application continue γ : I → R^d. En général, si n > 1 est un entier, on peut définir les courbes paramétrées de classe Cⁿ d’une fa¸con récursive. On dit qu’une application γ : I → R^d est une courbe paramétrée de classe Cⁿ si elle est continûment différentiable sur l’intérieur de I et si γ⁰ s’étend par continuité en une courbe paramétrée de classeCⁿ⁻¹.

Soitγ:I →R^d une courbe paramétrée de classeC¹. Soitxun point intérieur de I. On dit que la courbe paramétrée est régulière enxsiγ⁰(x)6= 0. Dans ce cas-là la tangente deγ enxest définie comme la droite

γ(x) +tγ⁰(x), t∈R.

On dit qu’une courbe paramétrée est régulière si elle est régulière en tout point intérieur deI.

12.2. Branches infinies d’une courbe param´etr´ee dansR²

Soitγ :I →R² une courbe paramétrée de classe C¹. Pourt ∈I, on désigne par x(t) ety(t) les deux coordonnées deγ(t).

Définition 12.1. — Soit t₀ une borne de l’intervalle I. On dit que la courbe paramétréeγ possède une branche infinie ent0si lim_t→t₀kγ(t)k= +∞.

Dans la pratique, plusieurs cas apparaissent quandttend verst₀

(1) Si lim_t→t₀x(t) =±∞et si lim_t→t₀y(t) =`∈R, on dit que la droite d’´equation y=` est une asymptote de la courbeγ.

(2) Si lim_t→t₀y(t) =±∞et si lim_t→t₀x(t) =`∈R, on dit que la droite d’´equation x=`est une asymptote de la courbe γ.

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50 S ÉANCE 12 : COURBE PARAM ÉTR ÉE

(3) Si limt→t0x(t) = ±∞ et limt→t0y(t) = ±∞, on ´etudie limt→t0y(t)/x(t) et lim_t→t₀x(t)/y(t).

(3.1) Si lim_t→t₀y(t)/x(t) = ±∞, on dit que la courbe admet une branche parabolique dans la directionOy.

(3.2) Si lim_t→t₀x(t)/y(t) = ±∞, on dit que la courbe admet une branche parabolique dans la directionOx.

(3.3) Si lim_t→t₀y(t)/x(t) =a∈R, on ´etudie la limite lim_t→t₀y(t)−ax(t).

• Si limt→t₀y(t)−ax(t) =b∈ R, on dit que la droite d’´equation y = ax+best une asymptote de la courbe.

• Si lim_t→t₀y(t)−ax(t) =±∞, on dit que la courbe admet une branche parabolique dans la direction dey=ax.

12.3. Changement de param´etrisation

Soitγ:I→R^d une courbe paramétrée. SiJ est un intervalle deRet siϕ:J →I est un homéomorphisme, alorsγ◦ϕ:J→R^d est une courbe paramétrée. Le procédé d’associer γ à la courbeγ◦ϕest appelé un changement de paramétrisation (on dit aussi queϕest un changement de paramétrisation). Si la fonction ϕest de classeC¹ et si la condition ϕ⁰(u)6= 0 est vérifiée pour tout u∈J^◦, on dit que le changement de paramétrisation est régulier. On peut facilement démontrer que, si le changement de paramétrisation est régulier et si la courbe γ est de classe C¹, alors il en est de même de la courbe paramétrée γ◦ϕ. En outre, la courbeγest régulière ent∈I^◦ si et seulement siγ◦ϕest régulière enϕ⁻¹(t)∈J^◦.

12.4. Longueur d’une courbe param´etr´ee

Soitγ:I→R^dune courbe paramétrée qui est régulière de classeC¹. Sit0 est un point intérieur deI, on définit une fonctions:I→R^d comme la suite

s(t) = Z t

t0

kγ⁰(u)kdu.

On utilise aussi l’expression sγ,t₀ pour désigner cette fonction. C’est une fonction strictement croissante et continue surI, donc définit une bijection entreIet son image s(I). En outre, la fonctionsest continûment différentiable et on as⁰(t) =kγ⁰(t)k. Si ϕ:J →I est un changement de paramétrisation qui est régulier, alors on a

(12.1) s_γ◦ϕ,ϕ−1(t0)=sγ,t₀◦ϕ.

L’applicationsdéfinit un changement de paramétrisation pour la courbe paramétrée γ. Plus précisément, l’application composée γ◦s⁻¹ : s(I) → R^d est une courbe paramétrée de classeC¹qui est régulière.

Soitγ:I→R^d une courbe paramétrée de classe C¹. On dit queγ est paramétrée par longueur sikγ⁰(t)k= 1 pour toutt∈I.

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12.5. COURBURE 51

Proposition 12.2. — Soient γ : I → R^d une courbe paramétrée et s : I → R la fonction de longueur associée. Alors la courbeγ◦s⁻¹:s(I)→R^d est paramétrée par la longueur.

D´emonstration. — Par d´efinition on a

(12.2) (γ◦s⁻¹)⁰= (γ⁰◦s⁻¹)(s⁻¹)⁰ =γ⁰◦s⁻¹

s⁰◦s⁻¹ = γ⁰◦s⁻¹ kγ⁰◦s⁻¹k, d’o`uk(γ◦s⁻¹)⁰k= 1.

12.5. Courbure

Soitγ :I →R^d une courbe paramétrée. On choisit t₀ ∈I^◦ et définit la fonction de longueurs:I→Rcomme

s(t) = Z t

t0

kγ⁰(u)kdu.

Pour toutt∈I^◦, on d´efinit lacourbure deγ entcomme κγ(t) :=k(γ◦s⁻¹)⁰⁰(s(t))k.

Remarque 12.3. — Cette définition ne dépend pas du choix det0car le choix d’un autre point entraˆıne la difference de la fonction s par une constante. En outre, la relation (12.1) montre que la fonction de courbure est invariante sous changement de paramétrisations régulier. Autrement dit, siϕest un changement de paramétrisation régulier, alors on aκγ◦ϕ=κγ◦ϕ.

Il est utile de donner la formule g´en´erale pour calculer la courbure.

Théorème 12.4. — Soitγ:I→R^d une courbe paramétrée. Pour toutt∈I^◦, on a κγ(t) = 1

kγ⁰(t)k ·

γ⁰⁰(t)−hγ⁰⁰(t), γ⁰(t)i kγ⁰(t)k² γ⁰(t)

D´emonstration. — D’apr`es (12.2), on a (γ◦s⁻¹)⁰⁰= (γ⁰◦s⁻¹)⁰

kγ⁰◦s⁻¹k − kγ⁰◦s⁻¹k⁰

kγ⁰◦s⁻¹k²(γ⁰◦s⁻¹)

= γ⁰⁰◦s⁻¹

kγ⁰◦s⁻¹k²− kγ⁰◦s⁻¹k⁰

kγ⁰◦s⁻¹k²(γ⁰◦s⁻¹) En outre, on akγ⁰◦s⁻¹k=hγ⁰◦s⁻¹, γ⁰◦s⁻¹i^1/2. Donc

kγ⁰◦s⁻¹k⁰= 1

kγ⁰◦s⁻¹khγ⁰◦s⁻¹,(γ⁰◦s⁻¹)⁰i=hγ⁰◦s⁻¹, γ⁰⁰◦s⁻¹i kγ⁰◦s⁻¹k² . Par cons´equent, on a

κγ= 1 kγ⁰k ·

γ⁰⁰−hγ⁰⁰, γ⁰i kγ⁰k² γ⁰