On dit qu’une courbe param´etr´ee γ :I → Rn est r´eguli`ere si pour tout t ∈I, γ0(t) 6= 0

R ´ESUM ´E 2

LES COURBES

1. Courbes param´etr´ees

Une courbe param´etr´ee dans Rⁿ est une application continue γ : I → Rⁿ, o`uI est un intervalle deR. Un changement de param`etre est un hom´eomorphisme h : I → I. On dit que deux courbes param´etr´ees γ : I → Rⁿ et γ : I → Rⁿ d´efinissent la mˆeme courbe [orient´ee] s’il existe un changement de param`etre [croissant] h:I →I tel que γ =γ ◦h.

2. Courbes r´eguli`eres et longueur d’arc

Dor´enavant, on suppose que les courbes param´etr´ees sont de classe C^∞ et que les changements de param`etre sont des diff´eomorphismes de classe C<sup>∞</sup>. On dit qu’une courbe param´etr´ee γ :I → R<sup>n</sup> est r´eguli`ere si pour tout t ∈I, γ⁰(t) 6= 0.

On dit alors que la courbe d´efinie par γ est r´eguli`ere.

On d´efinit lalongueur d’un arc de courbeen utilisant la structure euclidienne usuelle deRⁿ : l(γ;a, b) =

Z b a

kγ⁰(t)kdt pour a < b dans I.

On dit qu’une courbe param´etr´ee γ :I →Rⁿ est param´etr´ee par l’abscisse curviligne(p.p.a.c.) si pour tout s∈I, kγ⁰(s)k= 1. Toute courbe r´eguli`ere admet des param´etrisations par l’abscisse curviligne.

3. Courbes dans le plan

On munit le plan R² de sa structure euclidienne et de son orientation canoniques. Soit γ : I → R² une courbe r´eguli`ere p.p.a.c. Pour tout s ∈ I, on d´efinit T(s) = γ<sup>0</sup>(s) et N(s) comme l’image de T(s) par la rotation d’angle +<sup>π</sup><sub>2</sub>. La famille (T(s),N(s)) est une base O.N. directe et le rep`ere (γ(s);T(s),N(s)) s’appelle le rep`ere de Fr´enet au point γ(s). La courbure alg´ebrique de γ en s est d´efinie par

T⁰(s) =κalg(s)N(s).

C’est un nombre r´eel (il est positif si la courbe “tourne” dans le sens positif).

4. Les courbes dans l’espace

On munit l’espace R³ de sa structure euclidienne et de son orientation canoniques.

On dit qu’une courbe param´etr´ee γ : I → R³ est bir´eguli`ere si pour tout t∈I, γ⁰(t)∧γ⁰⁰(t)6= 0.

Soit γ : I → R³ une courbe bir´eguli`ere p.p.a.c. Pour tout s ∈ I, on d´efinit T(s) = γ<sup>0</sup>(s), N(s) = γ<sup>00</sup>(s)/kγ<sup>00</sup>(s)k et B(s) = T(s)∧N(s). La famille (T(s),N(s),B(s)) est une base O.N. directe et le rep`ere (γ(s);T(s),N(s),B(s)) s’appelle le rep`ere de Fr´enet au pointγ(s). On a les formules de Fr´enet







T⁰(s) = κ(s)N(s)

N⁰(s) = −κ(s)T(s) +τ(s)B(s) B⁰(s) = −τN(s)

qui d´efinissent la courbure κ(s) et la torsion τ(s) de γ en s.

Th´eor`eme. Soit I un intervalle de R et κ : I → R^∗₊ et τ : I →R des fonctions de classe C^∞. Alors,

(i) Il existe une courbe bir´eguli`ere p.p.a.c. γ : I → R³ admettant κ comme fonction courbure et τ comme fonction torsion.

(ii) Si γ₁ et γ₂ sont deux telles courbes p.p.a.c., il existe un d´eplacement R de l’espace R³ tel que γ2 =R◦γ1.

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