Master 1 MEEF 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 12 Th` eme : Courbes param´ etr´ ees
L’exercice propos´e au candidat Lemniscate de Bernoulli
1. ´Etudier le signe de la fonction x 7→ cos(2 x). En d´eduire que la fonction θ 7→ r(θ) =p2 cos(2θ) est d´efinie pour θ ∈ [−π/4, π/4] ∪ [3π/4, 5π/4].
Soit C la courbe param´etr´ee d´efinie par M (θ) = r(θ) cos(θ), r(θ) sin(θ) avec θ ∈ [−π/4, π/4] ∪ [3π/4, 5π/4].
2. ´Etudier la parit´e, la p´eriodicit´e et les variations de la fonction r. En d´eduire les points et les tangentes pour les angles θ valant 0 et π/4.
3. Tracer la courbe C.
4. Consid´erons les points F (1; 0) et F0(−1, 0). Faire afficher la valeur du produit des distances M (θ)F × M (θ)F0. Que constate-t-on ?
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve aux questions 3, 4.
Pour prendre la ra- cine carr´ee, j’ai dˆu mettre une valeur absolue. Le produit vaut 1, sauf quand M est sur les lobes du haut ou du bas.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve en mettant en ´evidence les comp´etences acquises dans le domaine des courbes param´etr´ees et pr´ecisant l’origine des
´eventuelles erreurs ou impr´ecisions.
2. Pr´esenter oralement un corrig´e de la question 2 comme vous le feriez devant une classe.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des courbes param´etr´ees.
