Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
G´ eom´ etrie 4 Th` eme : Trigonom´ etrie
L’exercice propos´e au candidat
Dans le plan muni du rep`ere ortho- norm´e (O, I, J ), on place le cercle trigo- nom´etrique C et le point A, sym´etrique du milieu de [OI] par rapport `a l’ori- gine. Le cercle de centre A passant par J coupe [OI] en B. Soit C le milieu de [OB], la demi-droite verticale passant par C coupe le cercle C en M . On note α la mesure de l’angle \IOM dans [0,π2].
1. Montrer que cos α =
√5−1 4 . 2. En d´eduire cos 2 α puis cos 3 α.
3. R´esoudre cos 2 x = cos 3 x.
4. En d´eduire la valeur de α.
5. Expliciter un proc´ed´e de construction `a la r`egle et au compas du pentagone r´egulier.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eves `a la question 2.
El`´eve A
cos 2 α = 2 cos2α − 1 = 2√
5−1 4
2
− 1 = 25−2
√5+1
16 − 1 = 12−4
√5 16 = 12−
√5 4 . cos 3 α = 3 cos2α − 1 = 3√
5−1 4
2
− 1 = 35−2
√ 5+1
16 − 1 = 18−6
√ 5
16 = 18−3
√ 5 8 . El`´eve B
cos 2 α = 2 cos α = 2
√ 5−1
4 =
√ 5−1
2 . cos 3 α = 3 cos α = 3
√5−1 4 =3
√5−3 4 .
El´´ ements de r´eponse d’un ´el`eve `a la question 3.
El`´eve C
cos 3x = cos 2x ⇐⇒ 3x = 2xou3x = −2x `a 2π pr`es. Et 3x = 2x ⇐⇒ x = 0oux = 2π;
3x = −2x ⇐⇒ 5x = 0ou5x = 2π ⇐⇒ x = 0oux = 2π5. Puisque α n’est pas ´egal `a 0 ni `a 2π, alors α = 2π5.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser la r´eponse propos´ee par chaque ´el`eve en mettant en ´evidence les comp´etences acquises dans le domaine de la trigonom´etrie et pr´ecisant l’origine des ´eventuelles erreurs ou impr´ecisions.
2. R´ediger un corrig´e des questions 1, 3 et 4 comme vous le feriez devant une classe.
3. R´ealiser la construction demand´ee `a la question 5 `a l’aide d’un logiciel de g´eom´etrie.
4. Pr´esenter diff´erents exercices sur le th`eme de la trigonom´etrie.
