Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 10 Th` eme : Approximation d’un r´ eel ` a l’aide d’une suite
L’exercice propos´e au candidat
La solution positive de l’´equation x2− x − 1 = 0 est appel´ee nombre d’or et not´ee φ. On consid`ere les suites u, v et w d´efinies par :
u0= v0= w0= 2, et, pour tout entier n,
un+1=√
un+ 1, vn+1= 1 + 1 vn
, wn+1= w2n+ 1 2 wn− 1.
D´emontrer que les suites u, v et w sont convergentes vers φ. Majorer les erreurs commises en approchant φ par un, par vn, par wn. Donner une valeur approch´ee `a 10−6 pr`es de φ en utilisant une ou plusieurs de ces suites.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve.
Les suites convergent vers les points fixes des fonctions qu’elles it`erent respectivement :
x 7→√
x + 1, x 7→ 1 + 1
x et x 7→ x2+ 1 2x − 1 qui, dans chacun des cas, est le nombre φ car on peut passer de l’´equation du point fixe `a l’´equation x2− x − 1 qui d´efinit le nombre d’or.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve en indiquant le degr´e de maˆıtrise des comp´etences, des m´ethodes et des savoirs mis en jeu dans l’exercice.
2. Pr´esenter une approche instument´ee de cet exercice, par exemple `a l’aide d’une calculatrice.
3. R´ediger l’exercice en le d´ecomposant pour le proposer en classe de Termi- nale scientifique.
4. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des suites approchant un r´eel.
