Master 1 MEEF 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 10 Th` eme : Suites et fonctions
L’exercice propos´e au candidat
Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0; 2] par f (x) =2 x+11+x . 1. ´Etudier les variations de f sur son intervalle de d´efinition.
2. Soit (un)n∈Nla suite d´efinie par u0= 0 et un+1= f (un).
(a) `A l’aide d’un logiciel, visualiser les termes de cette suite, en relation avec la repr´esentation graphique de la fonction f .
(b) Quelles observations faites vous et quelles conjectures peut-on ´emettre sur (un)n∈N?
(c) Montrer que pour tout entier n on a : 1 6 un 6 2.
(d) Montrer que la suite est d´ecroissante. Conclure El´´ ements de r´eponse d’´el`eves
`
a la question 2c
Initialisation : On v´erifie que la propri´et´e est vraie pour n = 0. Or u0 = 2 6 2 et mˆeme 2 = 2, la propri´et´e s’initialise.
H´er´edit´e : Supponsons que la propri´et´e est vraie pour tout entier p > 0. On veut montrer qu’elle est encore vraie au rang p + 1 donc 1 6 up 6 2, 2 6 2up 6 4, 3 6 2up+ 1 6 5 et 2 6 up+ 1 6 3. Comme les nombres sont positifs, on peut diviser, donc
1 6 3
2 6 2up+ 1 up+ 1 6 5
3 6 2.
Conclusion : la propri´et´e s’initialise pour n = 0, elle est h´er´editaire, elle est donc vraie pour tout n > 0.
`
a la question 2d
La fonction est croissante et on le voit bien, 0 < f (0) < f (f (0)) < · · · <
fn(0), mais en partant de 2, la fonction est d´ecroissante, 2 > f (2) > f (f (2)) >
· · · fn(2) = un. La suite (un) est d´ecroissante et born´ee inf´erieurement par 1 donc elle converge et sa limite vaut lim
n→∞un= 1.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser les r´eponses en mettant en ´evidence les r´eussites, en discutant la clart´e de la r´edaction et l’origine des ´eventuelles erreurs.
2. Proposer oralement une correction de la question 2d en indiquant le niveau requis, les comp´etences, les m´ethodes et les savoirs mis en jeu.
3. Pr´esenter diff´erents exercices sur le th`eme des fonctions et des suites.
