An 17 Fourier

Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe

UE 2 Epreuve sur dossier´

DOSSIER

Analyse 17 Th` eme : S´ eries de Fourier

L’exercice propos´e au candidat

Soit f une fonction r´eelle deux fois d´erivable, 2π-p´eriodique et λ un r´eel. On cherche une solution `a l’´equation diff´erentielle

y⁰+ λy = f.

1. Montrer que la solution peut s’´ecrire y(x) = e^−λx y(0) +

Z x 0

f (u)e^λu du
.

2. Montrer si une solution φ v´erifie

φ(2π) = φ(0) = Z 2π

0

f (u)e^λudu e^2πλ− 1 alors φ est l’unique solution 2π-p´eriodique.

3. Montrer que φ admet un d´eveloppement en s´erie de Fourier et exprimer ses coefficients en fonction de ceux de f .

El´´ ements de r´eponse d’´el`eve.

1. La d´eriv´ee de la fonction e^−λx y(0) +Rx

0 f (x)e^λxdx
est e^−λx −λ y(0) − λ

Z x 0

f (x)e^λx dx + y⁰(0) + f (x)e^λx
.

En d´eveloppant, λy puis e^±λx s’annulent, laissant f = f .

2. Si φ v´erifie φ(2π) = φ(0) alors elle est 2π-p´eriodique. Puisque φ(0) est fix´e

´egal `a φ(2π), elle est unique.

3. Comme φ est d´erivable, elle est d´eveloppable en s´erie de Fou- rier. φ⁰(x) + λφ(x) = P∞

n=1−ann sin(n x) + b_nn cos(n x) + λ a₀ + ancos(n x) + bncos(n x)

= a0 +P∞

n=1ancos(n x) + bnsin(n x) soit (n bn+ λan= an,

−n an+ λbn= bn

donc, en multipliant par λ et par n, en faisant la somme, on obtient

φ(x) =_λ2+n¹ ₂P∞

n=1(λa_n− n b_n) cos(nx) + (λb_n+ n a_n) sin(nx).

Le travail `a exposer devant le jury 1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve.

2. Exposer la correction de cet exercice comme devant une classe dont on pr´ecisera le niveau.

3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des s´erie de Fourier.