On d´efinit sa s´erie de Fourier comme a0 2

Universit´e d’Orl´eans 28 Mars 2017 D´epartement de Math´ematiques

L4MT12

Formulaire sur les s´eries de Fourier

1-. Soit f : R → R, continue par morceaux et p´eriodique de p´eriode T. On pose ω = 2π

T . On d´efinit sa s´erie de Fourier comme a₀

2 +

∞

X

n=1

a_ncosnωx+b_nsinnωx SF(f)

o`u les coefficients de Fourier sont donn´es par

a_n = 2 T

Z a+T

a

f(x) cosnωx dx; b_n = 2 T

Z a+T

a

f(x) sinnωx dx o`u a∈R est arbitraire.

Sif est paire sur [−T /2, T /2],b_n = 0 pour toutn. Sif est impaire sur [−T /2, T /2], an = 0 pour tout n.

On note

f_n(x) = a0

2 +

n

X

k=1

a_kcoskωx+b_ksinkωx

la somme partielle d’ordre n de la s´erie de Fourier SF(f).

2-. Th´eor`eme (convergence quadratique). Soit f comme ci-dessus. Alors, (i) Ra+T

a |f(x)−f_n(x)|²dx→0 quand n→ ∞.

(ii) (´egalit´e de Parseval) 1 T

Z a+T

a

|f(x)|²dx= (a0

2 )²+ 1 2

∞

X

n=1

a²_n+b²_n.

3-. Th´eor`eme de Dirichlet. Soit f comme ci-dessus. Alors, (i) En tout point x o`u f est d´erivable, fn(x)→f(x) quand n→ ∞.

(ii) En tout point x o`u f⁰(x⁻) et f⁰(x⁺) existent, f_n(x) → ¹₂[f(x⁻) +f(x⁺)] quand n→ ∞.