Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 11 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 14 Th` eme : Calcul d’int´ egrales
L’exercice propos´e au candidat On se propose de calculer
I = Z 1
0
1 1 + t2dt.
Pour x ∈ [0; 1], d´efinissons I(x) =Rx 0
1 1+t2dt.
1. Montrer que la fonction x 7→ I(x) est d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.
2. Posons F (x) = I (tan(x)).
(a) D´emontrer que F est d´erivable sur [0;π4] et calculer sa d´eriv´ee.
(b) D´emontrer que F (x) = x sur [0;π4].
3. En d´eduire la valeur de I.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve.
La fonction 1+x12 est d´erivable et sa d´eriv´ee est (1+x−2x2)2 donc I est d´erivable et
I0(x) = Z x
0
2t (1 + t2)2dt.
Le travail `a exposer devant le jury 1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve.
2. Pr´esenter comme devant une classe la r´esolution de l’exercice.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme du calcul d’int´egrales.
