Master 2 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
G´ eom´ etrie 8 Th` eme : Probl` emes d’optimisation en g´ eom´ etrie
L’exercice propos´e au candidat Triangle dans un cercle
On d´elimite dans une plate-bande de fleurs circulaire une zone par une ficelle tendue entre trois poteaux. Comment placer ces poteaux pour que l’aire soit maximale ?
1. En fixant la position de deux des poteaux, quelle est la position du troisi`eme pour maximiser l’aire ?
2. Qu’en d´eduit-on pour la nature du triangle offrant la surface maximale ? 3. Les jardiniers proc`edent par it´eration en ajustant successivement deux
poteaux comme indiqu´e dans la premi`ere question, le troisi`eme restant fixe. On mod´elise la situation par trois points sur le cercle unit´e, le point +1 repr´esentant le poteau fixe.
(a) En notant un l’angle d’un des points mobiles apr`es 2n ajustements,
´
etablir la relation de r´ecurrence qu’il v´erifie.
(b) Soit vn= un−2π3 . ´Etablir la relation de r´ecurrence v´erifi´ee par vnet en d´eduire sa limite.
(c) En d´eduire que un converge.
4. ´Etudier num´eriquement le nombre d’it´erations n´ecessaires pour que la surface atteigne 90% de la surface optimale.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice ainsi que le ou les niveaux pour lesquels il peut ˆetre adapt´e.
2. Illustrez cet exercice `a l’aide d’un logiciel de votre choix articulant divers registres (num´erique, graphique...).
3. Proposer des exercices sur le th`eme des probl`emes d’optimisation en g´eom´etrie.
