Master 2 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 6 Th` eme : Fonctions exponentielle et logarithme
L’exercice propos´e au candidat
1. ´Etant donn´ee une fonction f d´erivable sur R dont la d´eriv´ee ne s’annule jamais, on appelle vecteur sous-tangent `a la courbe repr´esentative Cf au point M d’abscisse x0, le vecteur−−→
T m o`u T est le point d’intersection de la tangent en M avec l’axe horizontal et m le projet´e orthogonal de M sur cet axe.
(a) Eprimer les coordonn´ees de−−→
T m en fonction de l’abscisse x0 du point M .
(b) D´eterminer l’expression de f si pour tout point M , le vecteur sous- tangent reste constant :
−−→ T m = a~ı.
2. On consid`ere maintenant une fonction g d´efinie sur R+∗. Pour chaque point M de la courbe Cgd’abscisse x0, on consid`ere le point T0 d’intersection de la tangente `a la courbe en M avec l’axe vertical et le point m0 le projet´e de M sur cet axe.
(a) Eprimer les coordonn´ees de−−−→
T0m0en fonction de l’abscisse x0du point M .
(b) D´eterminer l’expression de g si pour tout point M , le vecteur−−−→ T0m0 reste constant : −−−→
T0m0= b~.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice ainsi que le ou les niveaux auxquels s’adresse cet ´enonc´e.
2. Proposer une illustration de cet exercice `a l’aide d’un logiciel de votre choix ainsi qu’une caract´erisation g´eom´etrique des fonctions mises en jeu.
3. D´ecrire une variante de l’exercice n’utilisant pas l’´equation de la tangente mais l’interpr´etation g´eom´etrique de la d´eriv´ee logarithmique
ln(f )0
(x) =f0(x) f (x).
4. Proposer des exercices sur le th`eme des fonctions logarithme et exponen- tielle.
