Master 2 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 4 Th` eme : Suites et fonctions
L’exercice propos´e au candidat Suite logistique
Consid´erons α et u0deux r´eels, avec 0 6 α 6 4 et 0 6 u06 1, d´efinissant la suite
un+1= α un(1 − un).
1. ´Etudier la fonction fα : [0, 1] → R d´efinie par fα(x) = α x(1 − x). En d´eduire que la suite u est born´ee.
2. Pour α fix´e, d´eterminer u0pour que la suite soit constante.
3. Construire `a l’aide d’un logiciel le graphe la fonction fα et les suites de segments [(un, un); (un, un+1)] et [(un, un+1); (un+1, un+1)].
4. Calculer la valeur de la d´eriv´ee fα0 en les points trouv´es `a la question 2.
Faire afficher ce r´esultat sur la figure dynamique. Observer le changement de comportement quand ce nombre vaut −1.
5. En vous basant sur les r´esultats num´eriques pr´ec´edents, quelles sont vos conjectures concernant la convergence de la suite u ?
Une r´eponse d’´el`eve `a la question 2.
La suite nulle est solution ´evidente, soit u0= 0. Comme la suite est de toutes fa¸cons born´ee, elle converge donc vers 0, ce qu’on observe bien graphiquement.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice ainsi que le ou les niveaux auxquels s’adresse cet ´enonc´e.
2. Analyser la r´eponse de l’´el`eve.
3. Illustrez cet exercice `a l’aide d’un logiciel de votre choix articulant divers registres (num´erique, graphique...).
4. Proposer des exercices sur le th`eme des suites d´efinies par des fonctions.
