Master 2 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 14 Th` eme : S´ eries de Fourier
L’exercice propos´e au candidat
Un signal ´electrique parasite p´eriodique perturbe une communication. Ce signal s est nul, sauf pendant une p´eriode τ o`u il vaut 1 et se r´ep`ete avec une p´eriode T . Pour simplifier, on suppose ici T = 2π et le saut arrivant `a l’instant t = 0.
1. D´ecomposez s en s´erie de Fourier
s(t) = a0+
∞
X
n=1
an cos(n t) + bn sin(n t).
2. Montrer que
qa2n+b2n
2 = nπ1 p1 − cos(nτ ) pour tout entier naturel n non nul.
3. L’utilisation d’une capacit´e annule l’effet du terme constant a0et le trans- port du signal affaiblit les hautes fr´equences, ce qui a pour effet de rem- placer les termes an et bnpar ann et bnn pour tout entier naturel n non nul dans le signal re¸cu. Calculer le signal re¸cu r.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice.
2. Illustrer cet exercice `a l’aide d’un logiciel de votre choix en proposant des g´en´eralisations.
3. Proposer des exercices sur le th`eme des s´eries de Fourier.
