Master 2 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 6 Th` eme : Courbes de B´ ezier
L’exercice propos´e au candidat
Soient A, B, C et D quatre points du plan. Nous allons construire la courbes de B´ezier de degr´e 3 de ces quatre points. C’est une courbe param´etr´ee par un r´eel t ∈ [0, 1].
1. Consid´erons, pour t donn´e, le barycentre M[AB] de (A, 1 − t) et (B, t).
Quel est le lieu de M[AB] quand t parcourt [0, 1] ?
Le segment [AB] est appel´e la courbe de B´ezier de degr´e 1 avec points de contrˆole A et B.
De mˆeme, consid´erons, pour t donn´e, M[BC]le barycentre de (B, 1 − t) et (C, t).
2. Soit M[ABC], pour t ∈ [0, 1] donn´e le barycentre de (M[AB], 1 − t) et (M[BC], t). La courbe (C[ABC]) d´ecrite par M[ABC]quand t parcourt [0, 1]
est appel´ee la courbe de B´ezier de degr´e 2 avec points de contrˆole A, B et C.
(a) D´eterminer les extr´emit´es de la courbe (C[ABC]).
(b) D´evelopper M[ABC]comme barycentre pond´er´e des points A, B et C.
Ces poids sont appel´es les poids de Bernstein du degr´e 2.
(c) D´eterminer les tangentes aux extr´emit´es de (C[ABC]).
3. De mˆeme, consid´erons M[BCD]d´efinissant la courbe de B´ezier de degr´e 2 avec points de contrˆole B, C et D. On d´efinit enfin M[ABCD]le barycentre pond´er´e de (M[ABC], 1 − t) et (M[BCD], t), qui parcourt, pour t de 0 `a 1, la courbe (C[ABCD]), dite de B´ezier de degr´e 3 avec points de contrˆole A, B, C et D.
(a) D´eterminer les extr´emit´es de la courbe (C[ABCD]).
(b) D´eterminer les poids de Bernstein du degr´e 3 en exprimant M[ABCD]
comme barycentre pond´er´e des quatre points A, B, C et D.
(c) D´eterminer les tangentes aux extr´emit´es de (C[ABCD]).
4. Supposons que le point E d’intersection de (AB) et (CD) existe et v´erifie que
– B est le barycentre de (A, 1) et (E, 2) et – C est le barycentre de (D, 1) et (E, 2).
Faire un dessin. Comparer (C[ABCD]) et (C[AED]).
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice, le ou les niveaux auxquels s’adresse cet ´enonc´e avec leurs finalit´es p´edagogiques.
2. Proposer une illustration de cet exercice `a l’aide d’un logiciel de votre choix.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des courbes de B´ezier.
