Master 2 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 6 Th` eme : Courbes param´ etr´ ees
L’exercice propos´e au candidat
Le plan est rapport´e au rep`ere orthonormal direct (O, I, J ). On note, pour t r´eel M (t) le point de coordonn´ees
x(t) = cos(t)2 y(t) = sin(2 t)/2
1. ´Etudier les sym´etries de la courbe (C) d´ecrite par M pour montrer qu’elle peut ˆetre d´eduite du trac´e sur [0, π/2].
2. (a) Utiliser une formule de trigonom´etrie pour mettre cette courbe pa- ram´etr´ee sous une forme polaire
x(t) = r(t) cos(t)
y(t) = r(t) sin(t) o`u r(t) est la distance `a l’origine sur l’intervalle d’´etude.
(b) Cette param´etrisation donne-t-elle le rep´erage polaire du point M (t) pour tout t r´eel ?
3. En utilisant des formules de trigonom´etrie, calculer la distance entre les points I et M (t), puis la distance entre M (t) et le milieu de [OI] sur l’intervalle d’´etude.
4. En d´eduire la nature de la courbe (C).
Une r´eponse d’´el`eve `a la question 2b.
Comme pour tout t r´eel, x(t) = r(t) cos(t) et y(t) = r(t) sin(t), la distance r(t) et l’angle t = \IOM avec l’horizontale donnent bien les coordonn´ees polaires du point M (t).
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice ainsi que le ou les niveaux auxquels s’adresse cet ´enonc´e.
2. Analyser la r´eponse de l’´el`eve.
3. Proposer une illustration de cet exercice `a l’aide d’un logiciel de votre choix.
4. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des courbes param´etr´ees et les illustrer `a l’aide d’un logiciel de votre choix.
