Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 11 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 13 Th` eme : Int´ egration
L’exercice propos´e au candidat Vers la formule de Stirling
1. Montrer que, pour tout entier n > 1,
n−1
X
k=1
ln k 6 Z n
1
ln(x) dx 6
n
X
k=2
ln k.
2. En consid´erant la fonction x 7→ x ln(x), montrer que pour tout n > 1, Z n
1
ln(x) dx = 1 − n + n ln n.
3. En d´eduire que pour tout n > 1, ln n! − ln n 6 1 − n + n ln n 6 ln n! et nne1−n6 n! 6 nn+1e1−n.
4. En d´eduire un encadrement et le nombre de d´ecimales de 300!.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve.
On va le montrer par r´ecurrence. Supposons que la formule est vraie pour tout n et d´eduisons-en que c’est vrai au cran d’apr`es :
ln 1+· · ·+ln n = ln 1+· · ·+ln(n−1)+ln n 6 Z n
1 ln(x)+ln n dx 6 Z n+1
1
ln(x) dx 6 ln 2 + · · · + ln n + ln n 6 ln 2 + · · · + ln n + ln(n + 1)
car le logarithme est croissant. Donc la propri´et´e est vraie pour tout entier n.
300! est infini, il n’existe pas.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve en indiquant les comp´etences, les m´ethodes et les savoirs mis en jeu.
2. R´ediger des modifications de l’exercice pour l’adapter `a un autre public.
3. Pr´esenter comme devant une classe l’impl´ementation de la m´ethode des rectangles avec un logiciel de votre choix.
4. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme de l’int´egration.
