Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 18 Th` eme : Transform´ ee de Laplace
L’exercice propos´e au candidat (d’apr`es X. Pessoles)
La vitesse ωmd’un moteur aliment´e par une tension u(t) est gouvern´ee par l’´equation diff´erentielle
ωm+ τ ˙ωm= K u
o`u τ est la constante de temps m´ecanique et K le gain du moteur.
Un r´educteur de rapport r diminue la vitesse de sortie ω = r ωm.
1. On se place dans les conditions de Heaviside. Exprimer Ω(p) en fonction de U (p), les transform´ees de Laplace de ω et u.
2. L’action d’un interrupteur est mod´elis´e par un ´echelon de tension unitaire.
D´eterminer l’expression litt´erale de Ω(p).
3. Montrer qu’on peut trouver α, β et γ tels que la transform´ee de Laplace de l’angle du moteur v´erifie
Θ(p) =α p + β
p2 + γ 1 + τ p.
En d´eduire une expression de l’angle en fonction du temps. Interpr´eter.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve.
Comme la vitesse est la d´eriv´ee de l’angle, ω = ˙θ, Ω(p) = p Θ(p) = p(1+τ p)K r . Donc Θ(p) = p2(1+τ p)K r . En multipliant par p2 et en prenant p = 0, on voit que β = K r car (1 + τ p) = 1. En prenant p = −1τ, on voit que γ = −K r1
τ 2
= −K r τ2. En prenant p = ∞, on voit que α + γτ = 0 donc α = −K r τ . Donc
θ(t) = K r(−τ + t − τ e−τt).
La vitesse de rotation K r est atteinte rapidement, en partant d’une vitesse nulle au d´epart.
Le travail `a exposer devant le jury 1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve.
2. Exposer la correction de cet exercice comme devant une classe dont on pr´ecisera le niveau.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme de la transform´ee de Laplace, dont un au moins sera dans un contexte d’application aux sciences de l’ing´enieur.
