séries de Fourier, Equa diff avec T. de Laplace

(1)

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes Exercice 1

Soit la fonction f définie sur R, paire et de période T (T > 0), telle que, sur 0 ;^T 4

 

 

 , f(t) = ^4kt

T et sur ^{T T}; 4 2

 

 

  , f(t) = k, où k est un réel strictement positif. On note Sf la série de Fourier associée à f.

1. Représenter ci-dessous la fonction f sur [-T ; 2T]. 2. Ecrire (sans

justification) ci-dessous a0 sous forme

fractionnaire

« simplifiée ».

3. Ecrire (sans justification) ci- dessous bn sous forme fractionnaire

« simplifiée ».

4. Présenter un calcul justifié prouvant que, pour tout n ≥ 1, a_n = ^4k₂ ₂ cos ⁿ 1 2 n

  π − 

   

π    .

5. Citer le (ou les) théorème(s) permettant d’affirmer que pour tout t, f(t) = Sf(t) où Sf est la série de Fourier associée à f.

6. La fonction g est la troncature de Sf pour n ≤ 4. Ecrire g(t) sous forme développée et réduite.

7. (en utilisant le dos de cette feuille en cas de besoin) Prouver que, pour tout t, f(t) = _n

n 1

3k A sin 2n t

4 T 2

+∞

=

π π

 

+

∑

 − ^avec, pour tout entier naturel p non nul, A4p = 0, A2p+1 = ₂ ^4k ₂

(2p 1)

π + et A4p+2 = ₂ ^8k ₂ (4p 2)

π + .

(2)

Exercice 2

L'étude d'un mouvement amorti à considérer la fonction causale f vérifiant l’équation différentielle (E) : f"(t) + 2f ’(t) + 2f(t) = e^-t pour t ≥ 0, et f(0) = 1 et f ’(0) = 0.

On suppose que la fonction f et ses dérivées admettent des transformées de Laplace, et on note F la transformée de f.

1. En citant clairement les propriétés et théorèmes utilisés, prouver que (p² + 2p + 2) F(p) = p² 3p 3 p 1 + +

+ .

2. Ecrire, sous forme de fractions irréductibles, les réels a, b et c tels que pour tout réel p ≠ -1 on ait : p² ₂3p 3 a ₂bp c

p 1

(p 1)(p 2p 2) p 2p 2

+ + +

= +

+

+ + + + + .

3. Soit k une constante non nulle.

a) Ecrire la fonction causale g, originale de la fonction G où G(p) = ₂ ^k

p +2p 2+

b) Ecrire les théorèmes utilisés pour répondre à la question a).

c) Ecrire G(p) sous une forme adaptée à l’utilisation des théorèmes cités en b).

4. Présenter alors un calcul de f(t).

(3)

Eléments pour un corrigé Exercice 1

Soit la fonction f définie sur R, paire et de période T (T > 0), telle que, sur 0 ;^T 4

 

 

 , f(t) = ^4kt

T et sur ^{T T}; 4 2

 

 

  , f(t) = k, où k est un réel strictement positif. On note Sf la série de Fourier associée à f.

1. Représenter ci-dessous la fonction f sur [-T ; 2T]. 2. Ecrire (sans

justification) ci-dessous a0 sous forme

fractionnaire

« simplifiée ».

3. Ecrire (sans justification) ci- dessous bn sous forme fractionnaire

« simplifiée ».

3k 4

0

4. Présenter un calcul justifié prouvant que, pour tout n ≥ 1, an = ^4k₂ ₂ cos ⁿ 1 2 n

  π − 

   

π    . Pour tout n ≥ 1,

an ths.1,2 T

2 0

2 2

2 f (t) cos n t dt

T T

 π 

= ×

∫

 

définition de f ↓ relation de Chasles, linéarité de l’intégration an

T T

2

4 T

0 4

4 4k t cos n2 t dt k cos n2 t dt

T T T T

  π   π  

= 

∫

  +

∫

  

↓ th.3 (IPP), th.4 an

T T

4 T 2

4

0 T

0 4

4 4k T 2 T 2 kT 2

t sin n t sin n t dt sin n t

T T 2n T 2n T 2n T

   

  π   π    π 

   

=   π   − π

∫

  + π   

↓

an

( )

2 T

4

0

4 4k T T n T 2 kT n

sin 0 cos n t sin n sin

T T 2n 4 2 2n T 2n 2

   

  π      π    π 

   

=   π  − − π −   + π π −  

↓ th.5

an 4 kT n kT₂ ₂ n kT n

sin cos 1 sin

T 2n 2 n 2 2n 2

  π   π   π

=  π  + π   − − π   ↓ th.5

an 4k_{2 2} cos n 1 2 n

  π 

= π   − 

Th.1 : si f est T-périodique alors le coefficient de Fourier an est tel que, pour tout n ≥ 1, an =

( )

2 Tf (t) cos n t dt T

α+

α ω

∫

^{où α est}

une constante quelconque, et ω le réel tel que ωT = 2π.

Th.2 : si f est intégrable et paire

alors ^a ^a

af (t)dt 2 f (t)dt0

− =

∫ ∫

^.

Th.3 (IPP) :

[ ]

b b b

au ' v= uva− auv '

∫ ∫

Th.4 : (sin(ax))’ = a cos(ax) (cos(ax))’ = -a sin(ax) Th.5 (lignes trigonométriques) Pour entier n, sin(nπ) = 0 cos (nπ) = (-1)ⁿ

5. Citer le (ou les) théorème(s) permettant d’affirmer que pour tout t, f(t) = Sf(t) où Sf est la série de Fourier associée à f.

Th.6 (dit de Dirichlet) : soit f T-périodique et Sf sa série de Fourier

si f est continue et dérivable sur [α ; α + T] sauf en un nombre fini de points où f et f’ ont des limites finies à gauche et à droite,

alors, pour tout t où f est continue Sf(t) = f(t) 6. La fonction g est la troncature de

Sf pour n ≤ 4. Ecrire g(t) sous forme développée et réduite.

g(t) = 3k 4k₂ cos 2 t 2k₂ cos 4 t 4k₂cos 6 t

4 T T 9 T

π π π

     

−π  −π  − π   7. (en utilisant le dos de cette feuille en cas de besoin) Prouver que, pour tout t, f(t) = _n

n 1

3k 2n

A sin t

4 T 2

+∞

=

π π

 

+

∑

 − ^avec, pour tout entier naturel p non nul, A4p = 0, A2p+1 = ₂ 4k ₂

(2p 1)

π + et A4p+2 = ₂ 8k ₂ (4p 2)

π + .

En utilisant 2), 3), 4) et 5), f(t) = Sf(t) = 3k 4 +

2 2 n 1

4k cos n 1 cos n2 t

2 T

n

∞

=

  π−   π 

     

π      

∑

Or 2 ^ths.7,8 2

sin n t cos n t

T 2 T

π π π

 −  = −  

   

   

Th.7 : pour tous a et b réels, sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b th.8 : sin 1 et cos 0

2 2

π π

= =

(4)

donc f(t) = 3k

4 + ₂ ₂

n 1

4k cos n 1 sin n2 t

2 T 2

= n

  π   π π

−π   −   − 

∑

^.

Si n = 4p (non nul) alors 4k_{2 2} cos n 1

2 n

  π 

−π   − = 2 2

( ( ) )

^th.5

4k cos 2p 1

− (4p) π − =

π 0 = A4p,

si n = 2p + 1 (non nul)

alors ₂ 4k ₂ cos (2p 1) 1 ₂ 4k ₂ cos p 1

2 2

(2p 1) (2p 1)

  + π    π 

−π +   − = − π +   π + − 

( ( ) )

ths.95

2 2

4k sin p 1

(2p 1)

= − − π − =

π + A2p+1,

si n = 4p + 2 (non nul)

alors 2 2 2 2

( ( ) )

4k cos (4p 2) 1 4k cos 2p 1

2

(4p 2) (4p 2)

  + π 

−π +   − = − π + π + π −

( )

th.10,5

2 2

4k cos 2p 1

(2p 1)

= − − π − =

π + A4p+2.

Th.9 : pour tout a réel, cos a 2

 +π

 

 = - sin a

Th.10 : pour tout a réel, cos (a + π)= - cos a

(5)

Eléments pour un corrigé Exercice 2

L'étude d'un mouvement amorti à considérer la fonction causale f vérifiant l’équation différentielle (E) : f"(t) + 2f ’(t) + 2f(t) = e^-t pour t ≥ 0, et f(0) = 1 et f ’(0) = 0.

On suppose que la fonction f et ses dérivées admettent des transformées de Laplace, et on note F la transformée de f.

1. En citant clairement les propriétés et théorèmes utilisés, prouver que (p² + 2p + 2) F(p) = ^p² ^{3p 3} p 1

+ +

+ . f"(t) + 2f ’(t) + 2f(t) = e^-t pour t ≥ 0, et f(0) = 1 et f ’(0) = 0

↓ th.1,2,3,4,5

(p²F(p) – p) + 2(pF(p) – 1) + 2F(p) = ¹ p 1+

↓

(p² + 2p +2)F(p) = p + 2 + ¹ p 1+

↓

(p² + 2p + 2) F(p) = ^p² ^{3p 3} p 1

+ +

+ .

Th.1 : f(t)U(t) = g(t)U(t) ^£→F(p) = G(p) Th.2 : £ est linéaire

Th.3 : f’’(t)U(t) ^£→ p²F(p) – pf(0⁺) – f’(0⁺) Th.3 : f’(t)U(t) ^£→ pF(p) – f(0⁺)

Th.4 : e^-atU(t) ^£→ 1 p a+

2. Ecrire, sous forme de fractions irréductibles, les réels a, b et c tels que pour tout réel p ≠ -1 on ait : ^p² ₂^{3p 3} ^a ₂^{bp c}

p 1

(p 1)(p 2p 2) p 2p 2

+ + = + +

+

+ + + + + .

a = 1, b = 0 et c = 1

3. Soit k une constante non nulle.

a) Ecrire la fonction causale g, originale de la fonction G où G(p) = ₂ ^k

p +2p 2+ k sin t e^-t U(t).

b) Ecrire les théorèmes utilisés pour

répondre à la question a). Par exemple : Th.5 : £^-1 est linéaire ; Th.6 : ¹

2

£

2 2 sin( t)U(t)

p ω −

→ ω

+ ω Th.7 : F(p+a) →^£⁻¹ f(t)e^-atU(t)

c) Ecrire G(p) sous une forme adaptée à l’utilisation des théorèmes cités en b).

2

k 1

(p 1)+ +1 4. Présenter alors un calcul de f(t).

De 1., 2. On tire : F(p) =

( )

2 2 2

p 3p 3 1 1

p 1 p 2p 2 (p 1) p 2p 2

+ + = +

+ + +

↓ th.8, q.3b) f(t) = e^-t U(t) + sin t e^-t U(t).

Th.8 : ¹ p a+

£⁻1

→ e^-atU(t)