transformée de Laplace

Partiel n°1 MATHEMATIQUES BTS2-GO 2008-2009 Exercice 1- 12 points –BTS -98

Transformation de Laplace « Théorème du retard ».

On appelle fonction causale une fonction définie sur_ , et qui est nulle sur ^{] ;0 [}. On considère un système linéaire .

e(t) _système s(t)

Le signal de sortiesest associé au signal d’entrée.les fonctionss_etede la variable réellet, sont définies sur_ , et ce sont des fonctions causales ( c’est-à-dire nulles pour t0 ) qui admettent des transformées de Laplace notées respectivement E et S.

On définit la fonction de transfert : ^p^{H p( )}, du système par : ^{S p( )H p( )E p( )}. U est la fonction échelon unité définie sur_ par :



^{UU ( ) 0( ) 1tt  si tsi t00}

On considère les signaux d’entrée e _et e₁définis par :

^{e t( )U ( ) 2t  U (t 1) U (t2)} e t1( )e t( 3)

La fonction Hest définie sur ] 0;[par 1

( ) 1

H p  p



1°) Tracer la courbe représentative deedans un repère orthonormal (Annexe exercice 1).

2°) Déterminer la transformée de Laplace dee_{, notéeE.}

3°) Déterminer les nombres ^aet btels que, pour tout nombre^pde ^{] 0;[}on ait : 1

( 1) 1

a b

p p  p p

  .

4°) Déterminer l’original de 1 1 1 p p

 , et celui de 1 1 1

e p

p p

  

   

  pour  0.

5°)

a. Calculer ^{S p( )} et en déduire le signal de sortie ^t_s^{( )t} _.

b. Préciser l’expression des^{( )t} sur chacun des intervalles suivants :^{] ;0 [} ; ^{[ 0;1[} ; ^{[1;2 [}, et ^{[ 2;[}. Pour conclure cette question, une représentation graphique est nécessaire .

celle-ci est donnée par le tracé suivant :

(e-1)/e

-(e-1)²/e²

y=s(t)

2 3 4 5 6 7

-1 0 1

1

x y

6°) On note s1le signal de sortie associé à e1_{, et} S₁est la transformée de Laplace de s1_.

Vérifier que : S p₁( )S p e( ) ^3p. En déduire la représentation graphique de s1_.

Exercice 2 - 8 points

1. Rechercher les originaux des fonctions suivantes , après les avoir décomposées

a) 3( 2)

( ) ( 1)( 4)

X p p

p p

 

  avec ( )

( 1) ( 4)

a b

X p  p  p

 

b) 1 ₂ ²

( ) 1

(1 )

S p e p

p p



 

 

 

 

  

avec 1_{2 2}

( 1) 1

a bp c

p p p p

  

  .

c) En déduire ^{x t( )} et ^{s t( )} en fonction de l'échelon unité, puis sur l’intervalle ^[0;[.

2° ) On considère la transforméeHdéfinie pour ^p0 par : ^{H p( )} _p¹²



^{1 2 ep 2e3p e4p}



^.

a ) Ecrire l'original h de H en fonction de l'échelon unité.

b) Donner à l'aide d'un tableau l'expression de ^{h t( )}intervalle par intervalle.

c) Tracer une représentation de ^{h t( )}(Annexe exercice 2).

Annexe Exercice 1

2 3 4 5

-1

-1

0 1

1

x y

Exercice 2

2 3 4 5

-1

-1

0 1

1

x y

Correction

1. Selon la définition de la fonction échelon unité U , on a trois points de discontinuité pour la fonction e, d’où les dans les intervalles suivants :

t  0 1 2 

( )t

U 0 1 1 1

2 (t 1)

 U  0 0 2 2

(t2)

U 0 0 0 1

( ) ( ) 2 ( -1) ( 2)

e t U t  U t U t 0 1 1 0

( ) 0 0

( ) 1 0 1

( ) 1 1 2

( ) 0 2

e t si t

e t si t

e t si t

e t si t

  

   

    

  



.

2. on rappelle les transformée de Laplace connues suivantes ( voir formulaire) Pour tout nombre^pde ^{] 0;[} , 1

( ( ))t

 p

L U alors 1

( (t )) e ^p

p

  

L U  ^ . Par conséquent ,

grâce à la linéarité de la transformation de Laplace , et les transformées ci-dessus avec  1et  2 : ^{L ( ( ))e t L U}



^{( ) 2t  U (t 1) U (t2)}



^{L U}



^{( )t}



^{2L U}



^{( 1)t}



^{L U}



^(t2)



1 2 1 ² 1 ²

( ( ))e t e ^p e ^p (1 e ^p e ^p)

p p p p

   

     

L .

3. Pour tout nombre^pde ^{] 0;[} : 1 ( 1) ( )

( 1) 1 ( 1) ( 1)

a b a p bp a b p a

p p p p p p p p

   

   

   

Par identification des coefficients des polynômes en^p, on obtient :a b 0 et a1, donc b 1.

4. Soit 1 1

( ) 1

G p  p p

 . La transformation de Laplace inverse _L ^est linéaire , donc

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( )

1 1

t t

g t G t t e e t

p p p p

        

L L    L   L   U U   U On reconnaît le théorème du retard avec : 1 1

( ) ( )

1

p p

K p e G p e

p p

 

 

     , donc l’originale ^{k t( )L ( ( ))K p L }



^{G p e( ) p}



^{g t(    ) (1 e (t ))U (t ).}

5. ^{S p( )H p( )E p( )} : on remplace ^{H p( )}et ^{E p( )} par leurs valeurs et on obtient :

e(t)

2 3

-1

-1

0 1

1

x y

1 1 ² 1 ²

( ) (1 ) (1 )

1 ( 1)

p p p p

S p e e e e

p p p p

   

      

 

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

( ) (1 ) (1 ) 2

1 ( 1) 1 1 1

p p p p p p

S p e e e e e e

p p p p p p p p p p

           

                     Grâce à la linéarité , et en utilisant la question 4) les originaux avec  1et  2

( ) (1 ^t) ( )

g t  e^ U t ; g t( 1) (1  e^{ ( 1)t} )U (t1) et g t( 2) (1 e^{ ( 2)t} )U (t2) Donc s( )t L ^( ( ))S p soit pour tout t réel :

( 1) ( 2)

( ) (1t e ^t) ( ) 2(1t e ^t ) (t 1) (1 e ^t ) (t 2) s   ^ U   ^{ } U    ^{ } U 

t  0 1 2 

(1e^t)U ( )t 0 _1e^t _1e^t _1e^t 2(1 e^{ }( 1)^t ) ( 1)t

  U  0 0 _2(1e^{ ( 1)t} ₎ 2(1e^{ ( 1)t} ) (1e^{ }( 2)^t )U (t2) 0 0 0 (1e^{ ( 2)t} )

( )

s t  0 (1e^t)  1 (2e1)e^t (2e 1 e e²) ^t

2

( ) 0 0

( ) 1 0 1

( ) 1 (2 1) 0 2

( ) (2 1 ) 2

t

t t

s t si t

s t e si t

s t e e si t

s t e e e si t







  

    

      

    



6. Par définition de e1, pour tout réel ^t on a e t1( )e t( 3).si on note L ( ( )))e t1 E p1( )

On utilise le théorème du retard , pour tout ^p0 on a E p₁( )E p e( ) ^3p, donc par définition des fonctions de sorties : S p₁( )H p( )E p₁( )H p( )E p e( ) ^3p, donc S p₁( )S p e( ) ^3p.

Ainsi , toujours avec le théorème du retard , s t1( )s t( 3). La représentation graphique de s1

s’obtient donc à partir de celle de ^s par une translation de vecteur 3i .

(e-1)/e

-(e-1)²/e²

y=s(t) y=s1(t)

2 3 4 5 6 7

-1 0 1

1

x y

Exercice 2

I) Pour tout réel ^pdistinct de 1 et de 4 :

3( 2) 3 6 ( 4) ( 1)

( 1)( 4) ( 1)( 4) ( 1) ( 4) ( 1)( 4)

4 ( ) (4 )

( 1)( 4) ( 1)( 4)

p p a b a p b p

p p p p p p p p

ap a bp b a b p a b

p p p p

    

   

       

     

 

   

Par identification des numérateurs ( polynômes réduits de la variable p ) , on obtient :



^{a b   4 a b3 6}



^{a b3 a 33}



^ba12

Finalement 3( 2) 1 2

( 1)( 4) 1 4

p

p p p p

  

    .

2°) La transformation de Laplace inverse _L ^est linéaire , on obtient :

1 2 1 1

( ( )) 2

1 4 1 4

X p p p p p

      

           

L L L L

On sait d’après le formulaire que : 1 1

at at ( )

e e t

p a p

     

 

    

   

L L U , on applique cette

formule pour a 1 et a 4 on a : 1 1 1 ( )

t t

e e t

p p

   

 

    

   

L L U et

1 ⁴ 1 ⁴

4 ( )

t t

e e t

p p

   

 

    

   

L L U ,

on a donc pour tout réel t : x t( )e^tU ( ) 2t  e^4tU ( ) (t  e^t 2e^4t)U ( )t . Pour tout réel t0 : x t( ) e^t 2e^4t

b.

2 2 2

2 2 2 2

1 ( 1) ( )

(1 ) 1 (1 ) (1 )

a bp a p bp cp a b p cp a

p p p p p p p p

     

   

    ,

On obtient donc 0

1 1; 1 0

0

a ba a b et c

c

  

      

 

 , d’où 1 ₂ 1 ₂

(1 ) 1

p p p  p p

  et par conséquent :

/ 2 / 2 / 2

2 2 2 2

1 1

( ) (1 ) (1 ) 1 1

p p p

e p e e

S p p p p p p p p p

  

  

     

   

Calcul de ^{s t( )}, on passe aux transformées inverses :

/ 2 / 2 / 2 / 2

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

p p p p

p e e p e e

p p p p p p p p

   

   

         

      

         

             

     

L L L L L

d’après le formulaire on a : ^{( ( ))t 1}

 p

L U ; ^{( )t 1} p

 

   

U L   (cos( ) ( )) ₂

1 t t p

 p

L U  , d’où

cos( ) ( ) 2

1 t t p

p

 

   

U L , donc ¹ ₂ ^{( ) cos )} ( ) (1 cos ) ( )

1

p t t t t t

p p

   

     

     

   

L L U U U .

De plus L ( (f t)U (t))e^pF p( ), donc on a : ( ( )) ^{1 2} 2

t e p

p

 ^

 

L U d’où

/ 2

2 cos

2 2

(1 )

p p

e t t

p

  

      

  

     

      

 

L U

Enfin on obtient : ( ) ( ) cos ( ) cos

2 2 2

s t  t  t t  t  t  t 

     

U U U U

Soit ^{s t( ) }



^{1 cost}



U ^{( )t  }^{1 cos}^t₂^^U ^^t₂^

( ) s t :

( ) 0 0

( ) 1 cos 0 / 2

( ) 1 cos 1 cos / 2

2

s t si t

s t t si t

s t t t si t



 

  



     

   

        

   



( ) 0 0

( ) 1 cos 0 / 2

( ) 1 cos 1 cos / 2

2

s t si t

s t t si t

s t t t si t



 

  

    

  

        

  



^

( ) 0 0

( ) 1 cos 0 / 2

( ) sin cos / 2

s t si t

s t t si t

s t t t si t





  

    

   



.

2. ^{H p( )} _p¹²



^{1 2 ep2e3pe4p}



^{: H p( )} _p^{12 } _p^{22 ep} _p^{22 e3p} _p^{12 e4p.}



^{H p( )}



¹₂ ²₂ ^{e p 2}₂ ^{e 3p 1}₂ ^{e 4p}

p p p p

     

     

 

L L



^{H p( )}



¹₂ ^{2 1}₂^{e p 2 1}₂ ^{e 3p 1}₂ ^{e 4p}

p p p p

           

        

       

L L L L L

Or on sait que : L ( (f t)U (t))e^pF p( ), avec 1₂

( ) ( ( ))

F p t t

L U  p , puis on applique La formule avec  1 ;  3 et  4 , et on obtient :

2

(t ( ))t 1

 p

L U ; 1₂

(( 1)t (t 1)) e ^p (t ( ))t e ^p p

 

   

L U L U ; 1₂ ³

((t 3) (t 3)) e ^p p

   

L U

4 2

((t 4) (t 4)) 1 e ^p p

   

L U par passage à la transformée inverse ( réciproque )et la linéarité de la transformée de Laplace , on a :

2

1 t (t)

p

 

 

 

 

L U ; 1₂

( 1) (t 1) e p t

p

  

  

 

 

 

L U ; 1₂ ³

( 3) (t 3)

e p t

p

  

  

 

 

 

L U

4 2

1 e ^p (t 4) (t 4) p

  

  

 

 

 

L U , on obtient donc :

( ) ( ) 2( 1) ( 1) 2( 3) ( 3) ( 4) ( 4) h t tU t  t U t  t U t  t U t

t  0 1 3 4 

( )

tU t 0 0 t 1 t 3 t 4 t

2(t 1) (t 1)

  U  0 0 0 0 ^2(t1) 4 ^2(t1) 6 ^2(t1)

2(t3)U (t3) 0 0 0 0 0 0 ^2(t3) 2 ^2(t3)

(t 4) (t 4)

  U  0 0 0 0 0 0 0 0 ^{ (t 4)}

( )

e t  0 0 t 1  t 2 1 ^t4 0 0

0 0

0 2

( ) 2 2 3

4 3 4

0 4

t sisi t t

e t t si t

t si t

si t

 

  

    

  

 



Courbe

s(t)

2 3 4 5

-1

-1

0 1

1

x y