La Transformée de Laplace - Cours 3 pdf

Chapitre 5 – Transform´ee de Laplace

1 Int´egrales g´en´eralis´ees

i) Soient f, d´efinie sur un intervalle du type ]m,+∞[. Si lim

A→+∞

Z A a

f(t)dtexiste, on dit quel’int´egrale converge, et on ´ecrit :

Z ₊^∞

a

f(t)dt= lim

A→+∞

Z A a

f(t)dt

Il se peut que l’int´egrale converge grˆace ausignede f :

1

1/2

1/3

1/4 1/5

+

+ +

- -

1

1/2 +1/3 +1/4 +1/5

+ +

ii) On dit que l’int´egrale estabsolument convergentesi Z ₊^∞

a

|f(t)|dtconverge.

Th´eor`eme: Si l’int´egrale est absolument convergente, elle est convergente.

Remarque : Le fait que l’int´egrale soit convergente, ou absolument convergente, n’implique pas que

t→lim+∞f(t)=0.

1 2

0 3

R₀ R₁

R₂ R₃

Dimensions deRn: 1

4ⁿ,2ⁿ

Aire deRn: 1

4ⁿ ×2ⁿ= 1 2ⁿ

iii) Dans le cas o `u f(t) > 0 quand t > a, l’int´egrale Z A

a

f(t)dtest une fonction croissante deA.

a A

Th´eor`eme : L’int´egrale Z ₊^∞

a

f(t)dt converge si et seulement si il existe un nombre M tel que Z A

a

f(t)dt6Mquel que soitA, et alors Z ₊^∞

a

f(t)dt6M.

Th´eor`eme de comparaison: Soient f etgsont deux fonctions telles que f(t)6g(t) quandt>a.

• Si Z ₊^∞

a

f(t)dt= +∞alors Z ₊^∞

a

g(t)dt= +∞.

• Si Z ₊^∞

a

g(t)dtconverge, alors Z ₊^∞

a

f(t)dtconverge et : Z ₊^∞

a

f(t)dt6 Z ₊^∞

a

g(t)dt.

www.alloacademy.com

2 Transformation de Laplace

i) Si f est une fonction `a valeurs r´eelles, ou complexes, d’une variable r´eelle, sa transform´ee de Laplaceest la fonctionφdonn´ee par l’int´egrale de Laplace(pest une variable complexe) :

φ(p)=Z ^∞

0

f(t)e^{−p t}dt

On ´ecritφ=L(f), ou f Aφ, ouφ@ f. On dit que f est l’originaldeφet queφest l’imagede f. Latransformation de Laplaceconsiste `a passer de f `aφ.

ii) On remarque que Z ^∞

0

f(t)e^{−p t}dtne prend en compte que les valeurs de f(t) pour t > 0. La transform´ee de Laplace est donc concern´ee par lesph´enom`enes transitoires: avant une certaine date, il n’y a rien, et apr`es, il y a quelque chose . . . En prenant cet instant comme origine du temps, on peut supposer que f est une fonction d´efinie de−∞ `a+∞telle que f(t) =0 quandt < 0. On dit alors que f est unefonction causale.

Exemple: La fonction deHeaviside(fonction´echelon-unit´e).

H(t)=











0 quandt<0 1 quandt>0

1

0

SiFest d´efinie surR, la fonction f =FHest causale et f(t)=F(t) quandt>0.

iii) On se pose imm´ediatement les questions suivantes : Q1: Quelles fonctions ont une transform´ee de Laplace ? Q2: `A quoi reconnaˆıtre une transform´ee de Laplace ? Q3: Comment retrouver f `a partir deφ? Unicit´e ?

Q4: Comment se correspondent les propri´et´es de fet deφ? On ne r´epondra pas de fac¸on g´en´erale `a Q1, Q2, Q3 . . .

Pour Q1 et Q3, on d´ecrira un ensemble de fonction f dont on connaˆıt les transform´eesφet pour lesquelles on sait faire le passage deφ `a f, pour Q2, on donnera des propri´et´es satisfaites par les transform´ees de Laplace ; par contre, on sera plus long pour Q4.

Convention: Dans tout ce qui suit, f est une fonction de classeC⁰par morceaux surR(nombre fini de discontinuit´e sur tout intervalle de longueur finie et limite `a gauche et `a droite aux discontinuit´es).

iv) On dit que fest `acroissance exponentiellequand il existe des nombres r´eelsC,M,atels que :

|f(t)|6Ce^{M t} quel que soit x>a

Le prochain th´eor`eme montre que les fonctions de classeC<sup>0</sup>par morceaux, `a croissance exponen- tielle, ont une transform´ee de Laplace.

Th´eor`eme: Si f v´erifie les conditions ci-dessus, l’int´egrale de Laplace est absolument convergente quand Re(p)>M. En particulier, si lim

t→+∞f(t) existe, l’int´egraleφ(p) existe pour toutp>0.

D´emonstration: On doit montrer que Z A

0

|f(t)e^{−p t}|dta une limite quandAtend vers+∞.

www.alloacademy.com

• Z A

0

|f(t)e^{−p t}|dt= Z a

0

|f(t)| |e^{−p t}|dt+ Z A

a

|f(t)| |e^{−p t}|dt

•p=u+i v ⇒ |e^{−p t}|=|e^{−u t}e^{−i v t}|=|e^{−u t}| |e^{−i v t}|=e^{−u t} Alors :

Z A a

|f(t)e^{−p t}|dt= Z A

a

|f(t)|e^{−u t}dt6 Z A

a

C e^(M−u)tdt=C

"

e^(M−u) M−u

#A

a

=C e^(M−u)A−e^(M−u)a M−u

!

= C M−u

e^(M−u)A− C e^(M−u)a M−u

!

•M−u<0 ⇒ lim

A→+∞e^(M−u)A=0 et le th´eor`eme de comparaison montre alors que Z A

a

|f(t)|e^{−u t}dt converge quandu>M.

v) Soit f une fonction continue par morceaux sur [0,+∞[.

Th´eor`eme : Si l’int´egrale de Laplace converge quandp = p₁, alors elle converge quel que soitp avec Re(p)>Re(p₁).

Cons´equence: 3 possibilit´es :

• Il existe un nombre r´eelθtel que l’int´egrale de Laplace converge quand Re(p) > θet diverge quand Re(p)< θ. Le nombreθs’appelle l’abscisse de convergencede f.

• L’int´egrale de Laplace converge quel que soitp. L’abscisse de convergenceθ=−∞.

• L’int´egrale de Laplace diverge quel que soitp. L’abscisse de convergenceθ= +∞. L’ensemble desptels que Re(p)> θs’appelle ledemi-plan de convergence.

vi) Les transform´ees de Laplace poss`edent deux propri´et´es remarquables.

Th´eor`eme de la valeur initiale lim

t→0⁺ f(t)= lim

p→+∞pφ(p) ⇒ lim

p→+∞φ(p)=0 Th´eor`eme de la valeur finale: Si lim

t→+∞f(t) existe : lim

t→+∞f(t)= lim

p→0⁺pφ(p)

vii) Si l’on connaˆıtφ(p) pourpparcourant une droite verticale∆du demi-plan complexe, on peut

«presque»retrouver f en calculant l’int´egrale suivante qui donne la valeur de f(t) l`a o `u f est continue :

1 2πi

Z

∆φ(p)e^{p t}dp= f(t⁺)+ f(t⁻) 2

Cons´equence: Deux fonctions de classeC⁰par morceaux qui ont la mˆeme transform´ee de Laplace ne peuvent diff´erer que sur leurs discontinuit´es ; si elles sont continues, elles sont ´egales.

3 Les exemples fondamentaux

Exemple 1: Calcul deL(t^s)avecsr´eel positif quelconque.

Z ^∞

0

t^se^{−p t}dt

t→^u

=p

Z ^∞

0

u p

!s

e^−udu p = 1

p^s+1 Z ∞

0

u^se^−udu

!

| {z }

cs

= cs

p^s+1

www.alloacademy.com

c0= Z ^∞

0

e^−udu=−e^−u∞

0 =1 et cs= Z ^∞

0

u^se^−udu=−u^se^−u∞

0 − Z ^∞

0

−s u^s−1e^−udu=s cs−1

Donc c₀ =1 cs=s c_s−1 . En particulier cn=n! quandn∈N. Eulera eu l’id´ee de poser s!=

Z ^∞

0

u^se^−udu poursquelconque, r´eel ou complexe, avec Re(s)>0 et d’utiliser (s−1) != s!

s pour obtenir la factorielle des autres valeurs.

Finalement t^sA s!

p^s+1 et HA 1 p .

Euler aussi a compris que la«bonne»fonction n’est pass! mais plut ˆot : Γ(s)= Z ^∞

0

u^s−1e^−udu .

Exemple 2: e^{a t} A 1

p−a avecacomplexe quelconque : Z ^∞

0

e^{a t}e^{−p t}dt= Z ^∞

0

e^−(p−a)tdt

Exemple 3: cosωtA p p²+ω² Z ^∞

0

cosωt e^{−p t}dt= Z ^∞

0

e^+iωt+e^−iωt

2 e^{−p t}dt= 1 2

Z ^∞

0

e^+iωte^{−p t}dt+1 2

Z ^∞

0

e^−iωte^{−p t}dt= 1 2

1

p−iω+ 1 p+iω

!

Exemple 4: sinωtA ω p²+ω² Z ^∞

0

sinωt e^{−p t}dt=Z ^∞

0

e^+iωt−e^−iωt

2i e^{−p t}dt= 1 2i

Z ^∞

0

e^+iωte^{−p t}dt−1 2

Z ^∞

0

e^−iωte^{−p t}dt= 1 2i

1

p−iω− 1 p+iω

!

4 Op´erations sur les transform´ees de Laplace

i) Lin´earit´e L(a₁ f₁+· · ·+a_p f_p)=a₁L(f₁)+· · ·+a_pL(f_p) L(2+3t−5t²)=2L(H)+3L(t)−5L(t²)= 2

p + 3 p² − 10

p³ ii) Et pour une infinit´e de fonctions ? L









∞

X

n=0

a_n f_n









=?

∞

X

n=0

L a_n f_n ouL









∞

X

n=0

a_ntⁿ









=?

∞

X

n=0

a_nn! pⁿ⁺¹ Non en g´en´eral, mais oui dans certains cas !

Th´eor`eme: S’il existe une valeur deppour laquelle la s´erie

∞

X

n=0

ann!

pⁿ⁺¹ converge, alors la s´erie enti`ere

∞

X

n=0

a_ntⁿa un rayon de convergence infini et :

∞

X

n=0

a_ntⁿA

∞

X

n=0

a_nn! pⁿ⁺¹ .

www.alloacademy.com

Exemple :a_n= 1

(n+1)! ⇒ a_nn!= n!

(n+1)! = 1

n+1 ⇒

∞

X

n=0

a_nn! pⁿ⁺¹ =

∞

X

n=0

1 n+1

1 p

!n+1

La s´erie

∞

X

n=0

xⁿ⁺¹

n+1 converge quand |x| < 1, et sa somme est−ln (1−x). Donc

∞

X

n=0

a_nn!

pⁿ⁺¹ converge quand|p| >1 et sa somme est−ln 1− 1

p

!

. Il en r´esulte que

∞

X

n=0

tⁿ

(n+1)! converge∀t, et, puisque sa somme est f(t)= e^t−1

t , on a e^t−1

t A−ln 1−1 p

!

iii) Si l’on change la vitesse de d´eroulement de l’´ev´enement repr´esent´e par f, comment change la transform´ee de Laplace ?

f(t) gv(t)= f(v t)

f(t)Aφ(p) ⇒ f(v t)A 1 vφp

v

φv(p)= Z ^∞

0

f(v t)e^{−p t}dt

t→u/p

= Z ^∞

0

f(u)e

−p u v du

v iv) Si l’on retarde l’arriv´ee de l’´ev´enement repr´esent´e par f, comment changeL(f) ?

f(t)

R

fR(t)= f(t−R)

L(f_R)=e^{−p R}L(f)

Z ^∞

0

f(t−R)e^{−p t}dt

t→(u+R)

=

Z ^∞

−R

f(u)e^−p(u+R)du=0+e^{−p R}L(f) La formule s’´ecrit aussi : f(t−R) A e^{−R t}φ(p)

iv) Multiplication par une exponentielle : e^{a t}f(t) A φ(p−a) Z ^∞

0

e^{a t}f(t)e^{−p t}dt= Z ^∞

0

f(t)e^−(p−a)tdt v)Th´eor`eme: Si f est `a croissance exponentielle, sa transform´ee de Laplace est d´erivable et :

t f(t) A −φ⁰(p)

φ(p)= Z ^∞

0

f(t)e^{−p t}dt ⇒ φ(p+h)−φ(p)

h =

Z ^∞

0

f(t)e^−(p+h)t−e^{−p t}

h dt=

Z ^∞

0

f(t)e^{−p t} e^{−h t}−1 h

! dt

Apr`es quoi on montre que la limite de l’int´egrale : lim

h→0

Z ^∞

0

f(t)e^{−p t} e^{−h t}−1 h

!

est ´egale `a l’int´egrale de la limite

Z ^∞

0

f(t)e^{−p t} lim

h→0

e^{−h t}−1 h

! dt=

Z ^∞

0

f(t) (−t)e^{−p t}.

www.alloacademy.com

Par r´ecurrence, on obtient queφest infiniment d´erivable et que : tⁿ f(t) A (−1)ⁿφ⁽ⁿ⁾(p) . Application : : Calcul de φ(p)=

Z ^∞

0

sint t e^{−p t}dt

• t f(t) A −φ⁰(p) ⇒ φ⁰(p)=− Z ^∞

0

t sint

t

e^{−p t}dt

=− Z ^∞

0

sint e^{−p t}dt= −1

p²+1 ⇒ φ(p)=C−arctanp

• lim

p→+∞φ(p)=0 ⇒ C= π

2 ⇒ φ(p)=arctan1 p Z ^∞

0

sint

t e^{−p t}dt= π

2 −arctanp=arctan1 p

Z ^∞

0

sint t dt= π

2 vi)Th´eor`eme: Soit f une fonction d´erivable, avec f et f<sup>0</sup> `a croissance exponentielle :

L(f⁰)=pL(f)− f(0⁺)

et par r´ecurrence, on a la formule suivante (valable quand f est d´erivable autant de fois qu’il faut !) L(f⁽ⁿ⁾)=pⁿL(f)−pⁿ⁻¹f(0⁺)−pⁿ⁻²f⁰(0⁺)− · · · −p f⁽ⁿ⁻²⁾(0⁺)− f⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁺)

Z A 0

f⁰(t)e^{−p t}dt=h

f(t)e^{−p t}iA 0 +p

Z A 0

f(t)e^{−p t}dt Z ^∞

0

f⁰(t)e^{−p t}dt= lim

A→+∞ f(A)e^{−p A}− f(0)+p Z A

0

f(t)e^{−p t}dt

!

=−f(0)+p Z ^∞

0

f(t)e^{−p t}dt

www.alloacademy.com