A337. Résilience
On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n. Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 et 5 sont premiers avec 6.
Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que: φ(φ(φ(..r(n) fois...(Φ(n))...) = 1. On écrit φ[r(n)] (n) = 1.
Par exemple r(6) = 2 car φ[2](6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1
Q1 Déterminer le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = r(2016) + 2
Q2 Montrer que pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, on sait trouver un entier n tel que r(n) = k.
Application numérique: trouver un entier n₁ à trois chiffres tel que r(n₁) = 10 et un entier n₂ à cinq chiffres tel que r(n₂) = 17.
Q3 Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k.
Application numérique: k = 12
Solution proposée par Jean-Marie Breton Q1
(2n) = 2n-1 d'où r (2n) = n
2016 = 25 * 32 * 7
(2016) = 2016 * (1-1/2) * (1-1/3) * (1-1/7) = 2016* ½ * 2/3 * 6/7 = 2016 * 12/42 = 2016 * 2/7
= 26 * 32 = 64 * 9 = 576
( (2016)) = (26 * 32) = 26 * 32 * ½ * 2/3 = 26 * 3
(( (2016))) = (26 * 3) = 26 * 3 * ½ * 2/3 = 26 r(2016) = 9
r(n) = 11 est 211 = 2048 r(2023)=11 2023 = 7 * 17²
n 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
r(n) 9 10 9 10 10 10 9 11
Q2
(2k) = 2k-1 d'où r(2k) = k
Nombres n1 de trois chiffres tels que r (n1) = 10 30 nombres répondent à la question :
641 685 697 719 769 771 773 799 809 821 823 835 857 867 881 887 895 901 913 929 935 941 943 953 959 965 971 977 979 997 Nombres n2 de cinq chiffres tels que r (n2) = 11
2 527 nombres répondent à la question compris dans 10 002, 91 854 Q3
De la relation : (n) = k r (n) = r (k) + 1
Si n est le plus grand entier tel que r(n) = k alors (n) est le plus grand entier tel que r[ (n)] = k-1
Par exemple 18 est le plus grand entier n tel que r(n) = 3 et (18) = 6 est le plus grand entier tel que r(6) = 2.
Si n est le plus grand entier tel que r(n) = k avec (n) = a (donc r(a) = k-1) alors n est aussi le plus grand entier tel que (n) = a
sinon il existe m > n tel que (m) = a et r(m) = r(a) +1 = k
Soit n tel (n) = 2*3k alors : n = 3k+1 ou
n = 2*3k+1 ou
n = 2*3k + 1 et n premier ou n = 2*[2*3k + 1] et n premier.
Avec 2*3k + 1 < 3k+1 < 2*[2*3k + 1] < 2*3k+1 d'où 2*3k+1 est le plus grand n tel que (n) = 2*3k Le plus grand entier n tel que r(n) = 1 est 2 = 2*30.
Le plus grand entier n tel que r(n) = 2 est le plus grand entier tel que (n) = 2 soit 6= 2*31. Le plus grand entier n tel que r(n) = 3 est le plus grand entier tel que (n) = 6 soit 18 = 2*32. Le plus grand entier n tel que r(n) = 4 est le plus grand entier tel que (n) = 18 soit 54 = 2*33. Le plus grand entier n tel que r(n) = 5 est le plus grand entier tel que (n) = 54 soit 162 = 2*34. Le plus grand entier n tel que r(n) = 6 est le plus grand entier tel que (n) = 162 soit 486 = 2*35.
………
Le plus grand entier n tel que r(n) = k est le plus grand entier tel que (n) = 2*3k-2 soit 486 = 2*3k-1. Les valeurs successives sont celles de la suite rn+1 = 3rn avec r1 = 2.
Application numérique :
Le plus grand entier tel que r(n) = 12 est le plus grand entier tel que (n) = 2*310 soit 486 = 2*311 2*311 = 154 294.
