Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que: φ(φ(φ(..r(n) fois ..(φ(n

A337 - Résilience

On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n. Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 et 5 sont premiers avec 6.

Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que:

φ(φ(φ(..r(n) fois ..(φ(n))...) = 1. On écrit φ[r(n)] (n) = 1.

Par exemple r(6) = 2 car φ[2](6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1.

Q1 Déterminer le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = r(2016) + 2

Q2 Montrer que pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, on sait trouver un entier n tel que r(n) = k.

Application numérique : trouver un entier n1 à trois chiffres tel que r(n1) = 10 et un entier n2 à cinq chiffres tel que r(n2) = 17.

Q3 Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k.

Application numérique : k = 12.

Solution proposée par Jacques Guitonneau

La fonction indicatrice d’Euler vaut si n = Πi=1à r pi**ki alors Φ(n) = Πi=1à r (pi -1).pi**(ki-1)

On a 2016 =2**5 . 3**2 . 7 On a donc Φ(2016)= 2**4 . (2.3) . (6) soit = 2⁶. 3² Il est facile de voir que Φ(2**p)=2**(p-1) que Φ(3**q)=2. 3**(q-1) ,que Φ(2 . 3**q)= Φ(3**q). on a donc r (2**p)=p , r(3**q)= q+1, r(2**p . 3**q)=p + q (si p>=1) .

On a donc r(2016)= 9.

On cherche donc n tel que r(n)= 11. On sait que 2**11 = 2048 répond à la question il suffit donc de vérifier tous les nombres entre 2016 et 2048.

On trouve assez rapidement 2023=7×17^2. En effet Φ(2023)= 6.16.17=

2⁵.3.17=1632,

Φ2(2023)=2⁹ On a donc r(2023) =11.

Q2 : Quel que soit k on sait que n=2^k est tel que r(n)=k, de même que n= 2^k.3^l est tel que r(n)=k+l (si k est >0, sinon r(n)=l+1)

On cherche un nombre à trois chiffres tel que r(n1)=10. On sait que r(2¹⁰)=10.

D’après la fonction indicatrice d’Euler on voit que pour p premier r(p)=1+r(p-1).

Donc si 2⁹+1 était premier on aurait la solution . Malheureusement 513 est

divisible par trois. Par contre 2⁸+1 soit 257 est premier et en choisissant n=3.257 soit 771, on obtient Φ(771)= 2.256 =2⁹ soit donc r(771)=10.

On trouve également 867 soit 3. 17² En effet Φ(867)=2.16.17=544 et Φ(544)=16.16=256=2⁸ On obtient donc r(867)=10.

On cherche maintenant un nombre à trois chiffres tel que r(n2)=17. On sait que r(2¹⁷)=17. Le même raisonnement que précédemment conduit à examiner 2¹⁶+1 .

Il vaut 65537 et est premier, et comme c’est un nombre à 5 chiffres c’est une solution.

On trouve également 66049 soit 257.257. Comme 257= 2⁸+1, on a

Φ(66049)=256.257 et Φ2(66049)=128.256= 215 On a donc r(66049)=15 +2=17.

On a également 83521 soit 17⁴ Comme 17=2⁴+1, on a Φ(83521)=16. 17³ , Φ2(83521)=8.16. 17² , Φ3(83521)=4.16.16 17 ,etΦ4(83521)=8.16. 16.16= 2¹³ On a donc r(83521)=17.

On constate qu’on peut obtenir le résultat à partir de produits de nombres premiers de la forme 2^p +1 avec p=2^k (nombres premiers de Fermat).

Q3 : trouver le plus grand n pour un k donné tel r(n)=k.

On a vu que pour n=3^k on a Φ(n)= 2.3^k-1 Le rapport Q=n/ Φ(n) =3/2. Par la suite Φi(n)/ Φi+1(n) =3 Pour un nombre premier quelconque p >3 et un nombre de la forme n=p^k on a Φ(n)= (p-1).p^k-1 et le rapport Q=n/ Φ(n) qui est strictement inférieur à 3/2.

Pour obtenir le plus grand entier tel que r(n)=k, il faut qu’à chacune des k étapes de calcul de Φ(n) on ait le rapport Q maximum. Donc puisque r(3^p)= p+1 et que r(2.3^p)= r(3^p), le nombre recherché est n=2. 3^k

Dans le cas k=12, cela donne n=2. 3¹¹ soit 354294.