E580. Sur le tableau noir ***
Les entiers 1 à 2016 sont écrits sur le tableau noir. Zig choisit deux d'entre eux, les efface et les remplace par leur demi-somme. Par exemple il peut commencer par remplacer 7 et 16 par 11.5 ou bien remplacer 8 et 16 par 12 qui est une copie de l'entier 12 déjà écrit. Après 2015 opérations de ce type, le tableau ne comporte qu'un seul nombre.
Q₁ Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 486 (année de la bataille de Soissons avec son fameux vase)
Q₂ Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 1623 (année de naissance de Blaise Pascal)
Q₃ Toujours en partant des entiers de 1 à 2016, déterminer tous les entiers qui peuvent être des nombres finaux.
Solution proposée par Jean Nicot
Notons ¤ l’opérateur transformant a et b en (a+b)/2. Cet opérateur est commutatif comme a¤b = b¤a, mais non associatif. a¤b¤c =(a¤b)¤c ≠ a¤(b¤c). Les opérateurs doivent être exécutés de la gauche vers la droite, avec priorité aux parenthèses.
On a a¤a = a.
n¤(n-2)=n-1.
Ainsi (n¤(n-2)¤(n-1))¤(n-3)¤(n-4)¤(n-5)¤...¤p¤(p-1) = p (Relation R0) (1¤3¤2)¤4¤5¤6¤....¤(q-1)¤q = q-1 (Relation R1)
(r¤(r+2)¤(r+1))¤(r+3)¤(r+4)¤6¤....¤(q-1)¤q = q-1 (Relation R2) On a aussi :
[((n¤(n-2)¤(n-1))¤(n-3)¤(n-4)¤(n-5)¤ ...¤(p+2)¤(p+1)]¤[(1¤3¤2)¤4¤5¤...¤((p-2)¤(p-1)]¤p
= (p+2)¤(p-2)¤p = p*p = p. Cette relation R est très intéressante pour la suite.
Q1
La relation R avec n = 2016 et p = 483 est une possibilité pour obtenir le nombre final 483.Q2
Même chose pour le nombre final p= 1623Q3
Il convient de voir si la relation R peut s’appliquer pour p voisin de 1 ou de 2016.Cas des petites valeurs de p.
On ne peut pas avoir p=1 car a¤b ne peut être égal à 1 et on ne peut avoir d’autre 1 que celui déjà présent.
p=2 utilise la relation R0.
p=3 ne pose pas de difficulté. (n¤(n-2)¤(n-1))¤(n-3)¤(n-4)¤ ...¤7¤6¤1¤(5¤3)¤4¤2 = 3 p=4 ne pose pas de difficulté. (n¤(n-2)¤(n-1))¤(n-3)¤(n-4)¤ ...¤7¤6¤1¤2¤3¤5¤4 = 4 p=5 ne pose pas de difficulté. (n¤(n-2)¤(n-1))¤(n-3)¤(n-4)¤ ...¤8¤7¤2¤1¤3¤5¤4¤6 = 5 La relation R peut être utilisée pour p>5
Cas des fortes valeurs de p.
On ne peut pas avoir p=2016 car a¤b ne peut être égal à 2016 et on ne peut avoir d’autre 2016 que celui déjà présent.
Pour p=2015, la relation R1 avec q= 2016 fournit une séquence possible.
Pour p=2014, on commence avec 2016¤(1¤3¤2)= 1009 et on utilise la relation R2 avec r=4 et q=2015 en faisant disparaître le doublon 1009 lorsqu’il se présente.
Pour p=2013, on commence avec 2016¤2= 1009 et 2015¤1= 1008 on utilise la relation R2 avec r=3 et q=2014 en faisant disparaître les doublons 1009 et 1008 lorsqu’ils se présentent.
La relation R possède un premier facteur utilisant les valeurs {n à(p+1)} dont on veut garder les 3 plus fortes valeurs, soit n-3= p+1 ou p=n-4. On peut donc utiliser la relation R pour p=n-4=2012 et en dessous.
Les nombres finaux sont donc possibles pour toutes les valeurs supérieures à 1 et inférieures à n.
