E580. Sur le tableau noir
Remarques :
1/ Si on veut travailler seulement avec des nombres entiers, il faut combiner 2 nombres de mˆeme parit´e. Sinon, on introduit des parties fractionnaires qu’il faudra compenser avec d’autres parties fractionnaires.
2/ On a une situation de d´epart id´eale quand il y a autant de nombres inf´erieurs
`
a la valeur finale d´esir´ee que de nombres qui lui sont sup´erieurs, par exemple 1 2 3 4 5 avec 3 comme valeur finale (ce qui ne peut pas se produire avec 1 `a 2016).
Soitrla valeur finale. On va commencer l’´elagage de1`ar−1d’une part, puis de2016`a r+ 1d’autre part de la fa¸con suivante :
une 1`ere ´etape d’initialisation avec 2 valeurs de mˆeme parit´e, puis on moyenne cette valeur calcul´ee avec la suivante (ou la pr´ec´edente dans la phase descen- dante)
1 + 3→2 2 + 2→2 2 + 4→3 ...
et :
2016 + 2014→2015 2015 + 2015→2015 2015 + 2013→2014 ...
Le r´esultat pourr ∈[4..2013]est : r−2, r, r+ 2
c’est-`a-dire la situation id´eale de la remarque 2, et il il reste 2 ´etapes ´evidentes pour aboutir au r´esultat.
Pour les valeurs 1,2,3,2014,2015,2016 il reste apr`es l’´elagage 1 : 1,3,0,0,0, ...
2 : 1,2,4,0,0, ...
3 : 0,2,2,5,0, ...
2014 :...2012,2015,2015,0 2015 :...0,2013,2015,2016 2016 :...0,0,2014,2016
Il y a peut-ˆetre une autre strat´egie pour 2, 3, 2014 et 2015. Mais pour 1 et 2016 il n’y a pas de solution.
1
