E580. Sur le tableau noir
Les entiers 1 à 2016 sont écrits sur le tableau noir. Zig choisit deux d'entre eux, les efface et les remplace par leur demi-somme. Par exemple il peut commencer par remplacer 7 et 16 par 11.5 ou bien remplacer 8 et 16 par 12 qui est une copie de l'entier 12 déjà écrit. Après 2015 opérations de ce type, le tableau ne comporte qu'un seul nombre.
Q₁ Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 486 (année de la bataille de Soissons avec son fameux vase)
Q₂ Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 1623 (année de naissance de Blaise Pascal)
Q₃ Toujours en partant des entiers de 1 à 2016, déterminer tous les entiers qui peuvent être des nombres finaux.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va montrer que tous et seuls les nombres finaux sont 2, 3, …, 2015.
Puisqu’aucun choix ne peut engendrer ni le nombre 1 ni le nombre 2016, aucun de ces deux nombres ne pourra paraitre comme résultat final ; d’autre part, pour tout entre 2 et 2015, on donne ci-après une méthode pour laisser comme nombre final.
La séquence de base est la suivante :
(une deuxième copie du nombre 2).
. On aboutit ainsi à la suite où le symbole en rouge signale la disparition du nombre.
Maintenant on itère l’opération : remplacer les deux nombres de gauche par leur demi-somme, parvenant ainsi aux suites :
o o o …
On peut arrêter le procédé n’importe où ; quel que soit le nombre , on peut arriver à . En particulier choisissant on arrive à et l'on peut choisir parmi :
o
o
ce qui montre que 2014 et 2015 sont des nombres finaux. Si l’on répète ces
manœuvres « au miroir », partant du nombre 2016 et procédant vers la gauche, on termine laissant au tableau seulement le nombre 2 ou le nombre 3.
Naturellement rien n’empêche d’appliquer tantôt l’une tantôt l’autre stratégie : quels que soient les nombres avec on peut parvenir au tableau ; en particulier, quel que soit avec , on peut choisir ; ce qui mène à un triplet du type . Maintenant l’opération
suivie par
laisse uniquement au tableau.
