E580 : Sur un tableau noir
Les entiers 1 à 2016 sont écrits sur le tableau noir. Zig choisit deux d'entre eux, les efface et les remplace par leur demi-somme. Par exemple il peut commencer par remplacer 7 et 16 par 11.5 ou bien remplacer 8 et 16 par 12 qui est une copie de l'entier 12 déjà écrit. Après 2015 opérations de ce type, le tableau ne comporte qu'un seul nombre.
Q Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 486 (année de la ₁ bataille de Soissons avec son fameux vase)
Q Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 1623 (année de ₂ naissance de Blaise Pascal)
Q Toujours en partant des entiers de 1 à 2016,déterminer tous les entiers qui peuvent être des nombres ₃ finaux.
Il est trivial de dire que l'on ne pourra pas atteindre les valeurs 1 et 2016 qui devront bien être moyennées avec un nombre plus grand (ou plus petit) à un moment donné.
Pour atteindre les autres valeurs, il suffit de mettre en place une manipulation simple.
En partant des petites valeurs :
1 ) on traite le « 1 » avec le « 3 » , puis on combine les deux valeurs « 2 » 2 ) on décale progressivement le couple (2,4) vers des valeurs plus grandes.
1 2 3 4 5 6 ... 2012 2013 2014 2015 2016 2 2 4 5 6 ... 2012 2013 2014 2015 2016 2 4 5 6 ... 2012 2013 2014 2015 2016 3 5 6 ... 2012 2013 2014 2015 2016 4 6 ... 2012 2013 2014 2015 2016 […]
2013 2015 2016 2014 2016 2015 On peut donc atteindre 2015.
En partant des grandes valeurs, on obtient 2 par un procédé similaire.
Pour atteindre une autre valeur, il suffit de combiner les deux méthodes jusqu'à atteindre le nombre-cible par valeurs inférieures et supérieures :
Exemple pour 486 : (Q1)
1 2 3 4 5 6 ... 483 484 485 486 487 488 489 ... 2012 2013 2014 2015 2016 2 2 4 5 6 ... 483 484 485 486 487 488 489 ... 2012 2013 2015 2015 2 4 5 6 ... 483 484 485 486 487 488 489 ... 2012 2013 2015 3 5 6 ... 483 484 485 486 487 488 489 ... 2012 2014 [...]
483 485 486 487 489 484 486 488 486 486 486
Il reste encore à pouvoir atteindre 3 et 2014 :
Pour atteindre le nombre 3, il faut commencer une manipulation à droite jusqu'à atteindre 7.
1 2 3 4 5 6 ... 2012 2013 2014 2015 2016 1 2 3 4 5 6 ... 2012 2013 2015 2015 1 2 3 4 5 6 ... 2012 2013 2015 [...]
1 2 3 4 5 7
Puis, moyenner 7 et 1 et éliminer le doublon 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 4 5 6 2 3 4 5 6
On finit avec la manipulation de base en partant de 6 : 2 3 4 5 6
2 3 5 5 2 3 5 2 4 3
Idem pour atteindre 2014
Q 3 : On peut donc atteindre toute valeur entière de 2 à 2015.
