E580. Sur le tableau noir
Les entiers 1 à 2016 sont écrits sur le tableau noir. Zig choisit deux d'entre eux, les efface et les remplace par leur demi- somme. Par exemple il peut commencer par remplacer 7 et 16 par 11.5 ou bien remplacer 8 et 16 par 12 qui est une copie de l'entier 12 déjà écrit. Après 2015 opérations de ce type, le tableau ne comporte qu'un seul nombre.
Q Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 486 (année de la bataille de ₁ Soissons avec son fameux vase)
Q Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 1623 (année de naissance de Blaise ₂ Pascal)
Q Toujours en partant des entiers de 1 à 2016,déterminer tous les entiers qui peuvent être des nombres finaux₃ . Pour Q1 et Q2, commençons par quatre opérations :
2016+2014→2015 et 2015+2015→2015, 1+3→2 et 2+2→2
A partir de ce qui reste : (2,4,5 6,....,2010, 2011, 2012, 2013,2015), on obtiendra un nombre final égal à 486 ou 1623.
Q1) Ensuite on passe à (2,4,5,6,....,967, 968, 970) en effectuant 1045 fois l'opération sur les deux derniers nombres : 2015+2016→2014, 2012+2014→2013, etc.., 972+970→971, 971+969→970.
Comme la répartition est symétrique on effectue 483 opérations qui toutes aboutissent à 486 : 2+970, 4+968, 5+967, etc...485+487 . Et maintenant le nombre 486 est écrit 484 fois.
Il faut encore 483 opérations pour finir avec un seul nombre égal à 486.
Vérification : le nombre d'opérations a été : 4 + 1045 + 483 + 483 = 2015.
Q2) De même on passe de (2,4,5 6,....,2010, 2011, 2012, 2013,2015) à (1231, 1233, 1234,....,2011, 2012, 2013,2015) en effectuant 1229 fois l'opération sur les deux premiers nombres :
2+4→3, 3+5→4, 4+6→5, … , 1228+1230→1229, 1229+1231→1230, 1230+1232→1231.
Comme la répartition est symétrique on effectue 391 opérations qui toutes aboutissent à 1623 : 1231+2015, 1233+2013, 1234+2012 etc...Et maintenant le nombre 1623 est écrit 392 fois.
Il faut encore 391 opérations pour finir avec un seul nombre égal à 1623.
Vérification : le nombre d'opérations a été : 4 + 1229 + 391 + 391 = 2015.
Q3) Tous les entiers de 4 à 2013, peuvent être des nombres finaux.
La fin des opérations pour obtenir 4 est : (2,4,5,6,8)→(2,4,5,7)→(2,4,6)→(4,4)→(4) La fin des opérations pour obtenir 2013 est :
(2009,2011, 2012, 2013,2015)→(2010,2012,2013,2015)→(2011,2013,2015)→(2013,2013)→(2013).
On peut aussi obtenir les nombres finaux 2, 3, 2014 et 2015 :
Pour obtenir 2 ou 3, on commence par 2016+2014→2015 et 2015+2015→2015,
Ensuite , à partir de (1, 2, 3, .. , 2013, 2015) , en opérant à chaque fois sur les deux derniers nombres, sans modifier les premiers nombres, on termine par
(1, 2, 3, 4, 6)→(1, 2, 3, 5)→(1,2,4)→(1,3)→(2) ou par
(1, 2, 3, 4, 5, 7)→(2, 3, 4, 4, 5)→(2, 4, 4, 4)→(2, 4, 4)→(2, 4)→(3) Pour obtenir 2015 ou 2014, on commence par 1+3→2 et 2+2→2
Ensuite , à partir de (2, 4, 5,...,2013, 2014, 2015, 2016) , en opérant à chaque fois sur les deux premiers nombres, sans modifier les derniers nombres, on termine par
(2012, 2014, 2015, 2016)→(2013, 2015, 2016)→(2014, 2016)→(2015) ou par
(2010, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016)→(2012, 2013, 2013, 2014, 2015)→(2013, 2013, 2013, 2015)→
(2013, 2013, 2015)→ (2013,2015)→(2014)
Donc tous les entiers de 2 à 2015 peuvent être des nombres finaux.
