Les entiers 1 à 2016 sont écrits sur le tableau noir. Zig choisit deux d'entre eux, les efface et les remplace par leur demi-somme. Par exemple il peut commencer par remplacer 7 et 16 par 11.5 ou bien remplacer 8 et 16 par 12 qui est une copie de l'entier 12 déjà écrit. Après 2015 opérations de ce type, le tableau ne comporte qu'un seul nombre.
Q₁ Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 486 (année de la bataille de Soissons avec son fameux vase)
Q₂ Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 1623 (année de naissance de Blaise Pascal)
Q₃ Toujours en partant des entiers de 1 à 2016, déterminer tous les entiers qui peuvent être des nombres finaux.
Plus généralement, considérons les nombres de 1 à n (ici n=2016). Tous les nombres, sauf 1, étant strictement supérieurs à 1, la moyenne de deux d’entre eux (donc le résultat final) est toujours supérieure à 1 : le nombre final ne peut être 1. De même, par symétrie, il ne peut être égal à n.
La séquence (1+3)/2=2, (2+2)/2=2, (2+4)/2=3,... , (n-3+n-1)/2=n-2, (n-2+n)/2=n-1 permet d’obtenir le nombre n-1 (remarquons au passage que l’on obtient le même résultat sans utiliser le nombre 2 à la deuxième étape). Par un processus symétrique, on obtiendra le nombre 2.
Soit le nombre k, avec 3<k<n-2 ; par le processus précédent, on peut obtenir k-2 en utilisant les nombres de 1 à k-1 ; et, par symétrie et translation, k+2 à partir des nombres de k+1 à n : il reste alors k-2, k et k+2 ; (k-2+k+2)/2=k et (k+k)/2=k. Tout nombre strictement compris entre 3 et n-2, ainsi que 2 et n-1 peut être résultat final.
Si n est impair, (2+n-1)/2 est entier et s’élimine avec la valeur (n+1)/2 préexistante : on peut traiter le cas k=n-2 en sautant la deuxième étape : on obtient alors
n-4 en utilisant les nombres de 1 à n-3 et n-1 : il reste alors n-4, n-2 et n qui
permettent un résultat final égal à n-2. Le processus symétrique permet d’obtenir 3.
Enfin, si n>6 est pair, (1+n-1)/2 est entier et s’élimine avec n/2 préexistant ; on peut obtenir n-4 à partir des nombres de 2 à n-3 (translation du processus précédent), et il reste alors n-4, n-2 et n, qui permettent d’obtenir n-2. On obtient 3 par le processus symétrique.
Donc pour n=2016, nous pourrons obtenir in fine tout nombre entier de 2 à 2015, en particulier 486 et 1623.
