E552. Les deux cordes du dodécagone
On trace les sommets d’un dodécagone sur la circonférence d’un cercle de telle sorte que les longueurs des arcs qui séparent les sommets adjacents prennent les valeurs entières de 1 à 12 cm dans un ordre arbitraire. On trace toutes les cordes qui joignent les sommets deux à deux. Démontrer qu’au moins deux d’entre elles sont perpendiculaires.
Convention : Pour plus de facilité dans la rédaction, le terme « Point » désignera un des 12 points répartis sur le cercle selon les données de l'énoncé. L'usage du terme « point » pourra désigner un point quelconque de la figure superposable ou non à un des Points
Prenons l'un quelconque des 12 Points, nommé A , ainsi que le point du cercle qui lui est diamétralement opposé . Ce point se situe à côté d'un autre Point, situé sur le cercle à une distance d'arc entière que l'on notera d. L'illustration traitera le cas parmi d'autres de
d=3
De plus, chacun des couples de cordes issu de ces deux points et d'un troisième point du cercle forme un angle droit.
On va ensuite s'intéresser aux différentes valeurs de d en supposant qu'il soit impossible de tracer un angle droit entre deux cordes.
1 ) Si d=0 :
Trivialement, tout couple de cordes issu des deux Points forment un triangle rectangle. Il y a donc un angle droit entre deux cordes. Donc, d ne peut s'annuler pour aucun Point.
2 ) Si d = n > 0 :
On a vu que tout triangle issu du diamètre rouge est rectangle, à fortiori, celui qui, dans le sens de d intercepte l'arc de longueur d.
Quelle que soit la position de cet arc, si toutefois il n'inclut pas le symétrique du Point A, on peut donc tracer deux cordes perpendiculaires entre elles à partir de 4 des Points.
3) la récurrence :
En partant de d = 0, si on ne suppose aucun angle droit, d ne peut pas être nul.
Si d = 1 , on peut tracer un angle droit au moins grâce à la méthode illustrée ci-dessus, car aucun symétrique d'un Point ne peut se situer entre les Points espacés de 1, (ce symétrique est à 39 de A.) Toujours en supposant que l'on n'ait pas d'angle droit, pour tout Point, d ne peut donc pas être égal à 1.
Et on poursuit en supposant l'absence d'angle droit : d = 2, on peut encore appliquer le dessin car, la valeur 1 ayant été éliminée, les symétriques ne peuvent se trouver dans l'arc de longueur 2.
Etc... pour d prenant les valeurs 3, puis 4, 5 et 6.Pour tout Point, d ne peut donc prendre aucune valeur entre 1 et 6, ce qui est absurde. (Aucun Point n'aurait de symétrique)
On peut donc toujours tracer deux cordes perpendiculaires.
Remarque :
On remarque que ce raisonnement est possible dès l'instant où le périmètre du cercle est pair. La récurrence nécessite pour seule hypothèse qu'un diamètre issu d'un Point
ait son autre extrémité sur une graduation entière du cercle découpé en unités d'arc.
Il sera donc toujours possible de tracer deux cordes perpendiculaires pour un n-gone si n = 4k ou n = 4k - 1, n(n+1)/2 étant alors pair.
A l'inverse, on prouve assez facilement qu'il sera toujours impossible de tracer deux cordes perpendiculaires si n = 4k + 1 ou n = 4k + 2.
Dans ce cas, on ne s'intéresse plus au diamètre issu d'un point, mais à la médiatrice d'une corde donnée qui est elle aussi un diamètre particulier de la figure. La médiatrice d'une corde est un diamètre
perpendiculaire à cette même corde. Elle coupe obligatoirement le cercle en 2 points dont l'un est
« entier » et l'autre « moitié » par rapport à la graduation du cercle. Aucune corde glissante d'extrémité « entières » ne pourra donc se superposer à cette médiatrice. Il ne peut y avoir deux cordes perpendiculaires.
