E580 - Sur le tableau noir [*** à la main]
Les entiers 1 à 2016 sont écrits sur le tableau noir. Zig choisit deux d'entre eux, les efface et les remplace par leur demi-somme. Par exemple il peut commencer par remplacer 7 et 16 par 11.5 ou bien remplacer 8 et 16 par 12 qui est une copie de l'entier 12 déjà écrit. Après 2015 opérations de ce type, le tableau ne comporte qu'un seul nombre.
Q₁ Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 486 (année de la bataille de Soissons avec son fameux vase)
Q₂Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 1623 (année de naissance de Blaise Pascal)
Q₃ Toujours en partant des entiers de 1 à 2016,déterminer tous les entiers qui peuvent être des nombres finaux.
Solution proposée par Bernard Vignes:
Réponse :Tout entier compris entre 2 et 2015 peut être obtenu.
On traite le cas général de l'obtention d'un entier n de l'intervalle I = [1,2016]
1) Il est impossible d'obtenir les entiers 1 et 2016. En effet l'entier 2 ne pourrait s' obtenir qu'avec un entier
< 1 et 2016 avec un entier > 2016, dans les deux cas en dehors de l'intervalle I.
2) Lemme n°1 : si l'on sait obtenir l'entier n, on sait obtenir par une séquence d'opérations symétriques l'entier 2016 ‒ n.
En effet si à une certaine étape de la recherche de l'entier n, on utilise les entiers x et y de demi-somme (x+y)/2, on utilise les entiers 2016 ‒ x et 2016 ‒ y de demi-somme 2016 ‒ (x+y)/2 pour obtenir 2016 ‒ n.
3) Lemme n°2 : pour a quelconque ≥ 1, on sait obtenir l'entier a + 1, à partir de la suite d'entiers consécutifs d'au moins trois termes a, a + 1,...,b ‒ 2, b ‒ 1,b avec b > a + 1.
En effet en partant de b ‒ 2 et de b, on obtient b ‒ 1, puis à partir de b ‒ 1 et de b ‒ 3 , on obtient b ‒ 2, puis à partir de b ‒ 2 et de b ‒ 4 , on obtient b ‒ 3 etc...jusqu'à l'entier a + 2 qui associé à a donne a + 1.
L'entier a + 1 apparaît deux fois,sa demi-somme donne l'entier cherché a + 1.
Corollaire: d'après le lemme n°1, pour b quelconque ≤ 2016, on sait obtenir l'entier b ‒ 1 à partir de la suite d'entiers consécutifs d'au moins trois termes a, a + 1,...,b ‒ 1,b avec a < b ‒ 1.
4) Soit N un entier quelconque de l'intervalle fermé [ 2,2015].
4-1) On sait obtenir N = 2 d'après le lemme n°2 en prenant a = 1 et b = 2016. Selon le lemme N°1, on sait obtenir N = 2015 avec les mêmes valeurs a et b.
4-2) Soit 3 < N < 2014. On considère les deux suites 1,2,..N ‒ 1 et N + 1,N + 2,...,2016. Chacune a au moins trois termes.A l'aide de la première on sait obtenir N ‒ 2 d'après le corollaire de 3) et à l'aide de la seconde on sait obtenir N + 2 d'après le lemme n°2. L'entier N est la demi-somme de N ‒ 2 et de N + 2.
4-3) Soit N = 3. D'après le lemme n°2, avec a = 6 et b = 2016, on sait obtenir 7. La suite devient alors 1,2,3,4,5,7. Les couples (1,7) et (3,5) donnent deux fois l'entier 4. On a donc 2,4,4,4 qui se transforme en 2,4,4 puis 2,4 et enfin 3.
Selon le lemme n°1,on sait obtenir N = 2014.
