E580 - Sur le tableau noir [*** à la main]
Les entiers 1 à 2016 sont écrits sur le tableau noir. Zig choisit deux d'entre eux, les efface et les remplace par leur demi-somme. Par exemple il peut commencer par remplacer 7 et 16 par 11.5 ou bien remplacer 8 et 16 par 12 qui est une copie de l'entier 12 déjà écrit. Après 2015 opérations de ce type, le tableau ne comporte qu'un seul nombre.
Q₁ Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 486 (année de la bataille de Soissons avec son fameux vase)
Q₂Existe-t-il une séquence d'opérations qui permet d'obtenir un nombre final égal à 1623 (année de naissance de Blaise Pascal)
Q₃ Toujours en partant des entiers de 1 à 2016,déterminer tous les entiers qui peuvent être des nombres finaux.
Solution proposée par Daniel Collignon
D'une manière générale, on va utiliser les opérations suivantes suivantes :
(Id) 1 ... n-3 n-2 n-1 n => on supprime n-2 et n, puis n-1 et n-1 => 1 ... n-3 n-1
(D) : 1 ... n-3 n-1 => on supprime n-3 et n-1 => 1 ... n-4 n-2 (Ig) 1 2 3 4 ... n => on supprime 1 et 3, puis 2 et 2 => 2 4 ... n (G) : 2 4 ... n => on supprime 2 et 4 => 3 5 ... n
Q1 : en appliquant (Id), 1527 (D), (Ig) et 482 (G) => 484 486 488 => on supprime 484 et 488, puis 486 et 486 => 486
Q2 : en appliquant (Id), 390 (D), (Ig) et 1619 (G) => 1621 1623 1625 =>
on supprime 1621 et 1625, puis 1623 et 1623 => 1623 Q3 : on peut obtenir tous les entiers de 2 à 2015 inclus
en appliquant (Id), d (D), (Ig) et 2009-d (G) pour 0<=d<=2009, on obtient 2011-d 2013-d 2015-d, d'où 2013-d
en appliquant (Ig) et 2012 (G), on obtient 2014 2016, d'où 2015 en appliquant (Id) et 2012 (D), on obtient 1 3, d'où 2
en appliquant (Id) et 2009 (D), on obtient 1 2 3 4 6 => on supprime 1 et 3, puis 2 et 6, puis 4 et 4, puis 2 et 4 => 3
en appliquant (Ig) et 2009 (G), on obtient 2011 2013 2014 2015 2016 =>
on supprime 2014 et 2016, puis 2011 et 2015, puis 2013 et 2013, puis 2013 et 2015 => 2014
