E121- La séquence cordiale [**** à la main]
Solution proposée par David Amar
On notera P un nombre premier quelconque admettant un ou plusieurs multiples dans la séquence. On notera E l’ensemble des multiples de P dans la séquence.
On notera N le premier de ces multiples dans la séquence; M le nombre situé avant M dans la séquence et Q le plus petit facteur premier de M.
On va montrer les différentes propriétés suivantes : P1. La séquence est infinie.
P2. N=PQ
P3. P est dans la séquence P4. 2P est dans la séquence
P5. Si E est infini, tout multiple de P est dans E.
P6. Si la séquence contient tous les multiples de P, alors tout entier est dans la séquence.
P7. Tout entier est dans la séquence.
P8. Les nombres premiers apparaissent en ordre croissant.
P1. La séquence est infinie
Par l’absurde : Si elle admet un dernier élément Z ; alors tous les multiples de Z sont dans la séquence (sinon il existe un nombre non premier avec Z qui n’est pas encore dans la
séquence).
Comme Z admet une infinité de multiples ; alors la séquence admet une infinité de termes ; ce qui est absurde.
P2. N=PQ
N est le premier multiple de P donc M n’est pas multiple de P. Comme M et N se suivent, ils ont un facteur commun.
Par l’absurde : si N > QP ; alors QP n’est pas encore dans la séquence car N est le premier multiple de P ; il n’est pas premier avec M car multiple de Q et il est inférieur à N alors que ce dernier est le plus petit possible : c’est absurde.
Par ailleurs, si N =Q’P <QP alors Q’<Q ; M étant premier avec P, il n’est pas premier avec Q’
or Q est le plus petit facteur premier de M ce qui est absurde
P3. P est dans la séquence.
Par construction : le terme qui suit N est P ; en effet N = PQ > P ; P n’apparait pas dans la séquence avant N car N est le premier multiple de P.
N n’admet que 2 facteurs premiers : P et Q.
S’il existait un multiple de Q inférieur à N qui n’est pas dans la séquence avant N ; alors ce nombre aurait dû suivre M ; ce qui n’est pas le cas. Tous les multiples de Q inférieurs à N sont donc dans la séquence.
Parmi les multiples de P, on trouve le plus petit de ces nombres : P lui-même qui n’est pas dans la séquence, inférieur à tous les multiples de P ; inférieur à N et donc à tous les multiples de Q « disponibles ». P est donc le terme suivant N.
P4. 2P est dans la séquence Par construction :
Soit M est pair, dans ce cas N = 2P
Soit M est impair, dans ce cas N > 2P, suivi par P d’après la propriété 3. Le terme suivant est forcément un multiple de P car P est premier. 2P est le plus petit multiple de P strictement supérieur à P. Il n’apparait pas dans la séquence car N et P sont différents de 2P et ce sont les deux seuls multiples de P présents dans la séquence à ce stade. 2P est donc le plus petit multiple de P « disponible ».
P5. Si E est infini, tout multiple de P est dans E.
Par l’absurde : Supposons que E soit infini, et qu’il existe R tel que PR ne soit pas dans E.
La séquence est infinie d’après P1 et il n’existe qu’un nombre fini d’entiers inférieurs à PR : au-delà d’un certain rang ; tous les termes de la séquence seront supérieurs à PR.
E est infini : il existera donc des éléments de E situés au-delà de ce rang. On notera PR’ un tel élément, et Z le terme suivant.
PR est alors non premier avec PR’ (car multiples de P tous les 2), pas présent dans la séquence par hypothèse ; mais ce n’est pas Z ; donc Z < PR, ce qui est absurde au-delà d’un certain rang.
P6. Si la séquence contient tous les multiples de P, alors tout entier est dans la séquence.
Par l’absurde : la séquence contient tous les multiples de P ; mais pas un certain entier R.
La séquence est infinie d’après P1 et il n’existe qu’un nombre fini d’entiers inférieurs à R : au-delà d’un certain rang ; tous les termes de la séquence seront supérieurs à R.
La séquence contient tous les multiples de P, donc ceux de PR aussi. Il y a une infinité de tels multiples donc il existe un multiple de PR au-delà de ce rang. On notera P’R un tel élément, et Z le terme suivant.
R est alors non premier avec P’R, pas dans la séquence ; mais ce n’est pas Z donc Z < R ce qui est absurde au-delà d’un certain rang
P7. Tout entier est dans la séquence.
La séquence est infinie d’après P1. S’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers admettant un entier dans la séquence ; alors il existe un nombre premier ayant une infinité de multiples dans la séquence. D’après P5, tous les multiples de ce nombre premier sont dans la séquence ; d’après P6 tous les entiers sont dans la séquence ; donc tous les nombres premiers aussi ; ce qui est absurde.
Il existe donc une infinité de nombres premiers admettant des multiples dans la séquence ; donc une infinité de nombres de la forme 2P d’après P4. Le nombre premier 2 admet donc une infinité de multiples dans la séquence, donc tous les nombres pairs sont dans la séquence d’après P5 ; donc tous les entiers d’après P6.
P8. Les nombres premiers apparaissent en ordre croissant.
Supposons qu’il existe Pet P’, avec 2<P<P’ et P’ qui apparait avant P dans la séquence.
La première apparition de P’ suit un nombre de la forme QP’ d’après P2 et P3.
Or, QP n’est pas dans la séquence avant QP’ (sinon, le terme suivant aurait été P, et serait apparu avant P’ dans la séquence) ; donc QP n’est pas premier avec son antécédent (puisque P’Q ne l’était pas non plus) ; il n’est pas dans la séquence et il est inférieur à P’Q : c’est absurde car P’Q est censé être le plus petit possible.
Conclusion :
- Tous les entiers sont dans la séquence une et une seule fois (une fois d’après P7 ; une seule par construction)
- 2012 est dans la séquence aussi
- Les nombres premiers apparaissent en ordre croissant.
Quant au nom de la séquence, cordial est un adjectif qui vient de cordialis, dérivé de cordis, coeur en latin. Cette séquence est aussi appelée "électrocardiogramme", en référence à l'aspect global de sa courbe représentative.
