A337 - Résilience
On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n. Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 et 5 sont premiers avec 6.
Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que:
φ(φ(φ(..r(n) fois ..(φ(n))...) = 1. On écrit φ[r(n)] (n) = 1.
Par exemple r(6) = 2 car φ[2](6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1.
Q1 Déterminer le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = r(2016) + 2
Q2 Montrer que pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, on sait trouver un entier n tel que r(n) = k.
Application numérique : trouver un entier n1 à trois chiffres tel que r(n1) = 10 et un entier n2 à cinq chiffres tel que r(n2) = 17.
Q3 Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k.
Application numérique : k = 12.
Solution proposée par Daniel Collignon
L'examen des premières valeurs conduit à la suite A003434, qui pointe également vers A007755.
Q1 : on vérifie que r(2016=2⁵3²7) = 9 et que r(2023) = 11
En effet phi(2⁵3²7) = 2⁶3², phi(2⁶3²) = 2⁶3, phi(2⁶3) = 2⁶, phi(2⁶) = 2⁵...
2017 : premier, 2018 = 2*1009, 2019 = 3*673, 2020 = 2²5*101, 2021 = 43*47, 2022 = 2*3*337, 2023 = 7*17²
Q2 : on vérifie que r(2^k)=k pour k>=1 Dans la même veine :
r(2*3^k) = k+1 pour k>=1 r(3*2^k) = k+1 pour k>=1 r(5*2^k) = k+2 pour k>=1
Par ailleurs, rappelons que si p est premier, alors r(p) = 1 + r(p-1) Ainsi r(641) = 10 car 641 est premier et 640 = 2⁷5
et r(65537) = 17 car 65537 est premier et 65536 = 2^16
Q3 : il semblerait que cela soit n = 2*3^(k-1) mais il resterait à le prouver rigoureusement (double récurrence ?)
Pour k = 12, cela donne n = 354294
