circuit éléctique et transformée de Laplace

Tp transformation de Laplace BTS2GO MATHEMATIQUES 2008-2009 Exercice 1

On considère le circuit suivant

Pour ce circuit i, i1 , i2 , ^u et ^v sont des fonctions de t nulles quand t0 et telles que pour t0 elle admettent des transformées de Laplace I, I1 , I2 , U et V .

On pose x t( )i t( )i t2( )et y t( )i t( )i t2( ) (on peut remarquer que y t( )i t1( ).

On suppose pour la suite du problème que 4L R C ² et que u est un échelon de tension constant tel que pour t0 u t( )E. On sait enfin que : ⁽⁰⁾ ₂⁽⁰⁾

2 i i E

  R et ^{' (0)}₁ 2 i E

 L. Le fonctionnement du circuit peut se traduire par les équations différentielles suivantes : ¹

1 1

( ) : '( ) ( ) '( )

2

1 1

( 2) : "( ) '( ) ( ) '( )

2 4 2

E x t x t u t

RC R

E y t R y t y t u t

L LC L

  



   



1)1.1) Déterminer ^x(0) , ^y(0) et ^y'(0). 1.2) Montrer que

2 1 1 2

2 4

p R p p

L LC RC

 

    

 

1.3) Résoudre les équations (^E₁) et (^E₂) à l'aide de la transformation de Laplace.

2) En déduire les expressions de^{i t( )} et de ^{i t}₂^{( )}.

3) On considère les fonctions numériques f et g de la variable réelle t définies sur _ par : ^{( ) 1 1 / 2}

4

f t   t et et ^{( ) 1 1 / 2} 4 g t   t et

3.1) Etudier les variations de f. En déduire que l'équation ^{f t( ) 0} admet une seule solution ^. Montrer que _{  }^{0,65 ;0,66}_.

3.2) Etudier les variations de g. En déduire que l'équation ^{g t( ) 0} admet deux solutions ^ et^ (^{  }). Montrer que _{ }^{1,53 ;1,54}_ et que   5,98 ; 5,99 .

3.3) Déduire des questions précédentes le signe de ^{f t( )} et ^{g t( )} suivant les valeurs de t.

4) On prend désormais R = 1 Ω ; C = 1 F et E = 2V 4.1) Montrer que, dans ces conditions,

/ 2 2 / 2

( ) 2

( ) 2

t t

t t

i t e te

i t e te

 

 

  



 



4.2) En utilisant les résultats de la question 3, étudier les variations de iet de ⁱ₂ .

Donner les limites deiet de ⁱ₂ aux bornes de . Dresser les tableaux des variations de ces deux fonctions.

4.3) Déterminer la position relative des courbes représentatives de iet de ⁱ₂. 4.4) Représenter graphiquement les courbes C i_et

i2

C _fonctions iet i2 dans un même repère orthogonal ayant pour unités 2cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.

2C C

i i

i L R 2

1

u(t) R

v(t)

CORRECTION

1. On trouve immédiatement : ^{x(0) E}

 R et ^{y'(0) 0} et ⁽⁰⁾ 2 y E

 L. 1.2 Sachant que _{4LCR C}² , on trouve

2 2 2

2 2

1 2 1 1

2 4

p R p p p p

L LC RC R C RC

 

       

  .

1.3 En remarquant que ^{u t'( ) 0} on obtient comme transformée de^{( ) : '( )}₁ ^{1 ( ) 1 '( )} E x t 2 x t u t

RC R

  .

( '( )) ( ) (0 ) ( ) E

x t pX p x pX p

R

    

L et L ^{( ( ))x t  X p( )}, on obtient :

( ) 0 ( ) 1

2 1

2

E p E

pX p X p

R RC R p

RC

    

 ^{1( ( )) 1 1}₁ ^{1 1}₁

2 2

E E

X p R p R p

RC RC

  

   

   

    

     

   

   

L L L .

On en déduit : _{x t( ) ( ( ))X p} ^E_e ^2RCt R

 

L 

De même pour ( 2) : "( ) '( ) ¹ ( ) ¹ '( )

2 4 2

E y t R y t y t u t

L LC L

   .

L ( "( ))y t  p Y p² ( )py'(0 )^ y(0 )^  p Y p² ( ) ; L ( ( ))y t  pY p( )y(0 )^  pY p( )et L ^{( ( ))y t Y p( )}. on obtient :

2

2 2

1 1 1

0 1

2 2 4 2 2 1

2 4

E R E E

p Y pY Y

L L RC L p RL p LC L p RC

      

 

    

 

.

^{1( ( )) 1 1} ₂ ^{1 1} ₂

1 1

E E

Y p R R

p p

RC RC

  

   

   

   

    

      

 

   

   

      

   

L L L . Or on sait que

 

1

2

1 _at

p a te

   

  

 

  

 

L .

On déduit : ( ) ( ( ))

t

E RC

y t Y p te

R

 

L 

2. ^{i t( )1}₂





 

; 2

 

1 1

( ) ( ) ( )

2 2 2

t t

RC RC

E E

i t x t y t e te

R L

 

 

 

   

 

 

3. 1 ^{/ 2}

( ) 1 4

f t   t et , 1 ^{/ 2}

'( ) 1 0

8

f t    et  . f est continue , décroissante et change de signe sur ^{] 0 ;[}, donc in existe un réel  tel que

( ) 0

f   . f(0,65) 0,004 0  et ^{f(0,66) 0,008 0} . Donc [ 0,65 ; 066].

3.1 3. 1 ^{/ 2}

( ) 1

4

g t   t et , 1 ^{/ 2} '( ) 1

8

g t   et . '( ) 0 ^{/ 2} 8 ln 8 2ln 8 6ln 2

2

t t

g t  e     t  Comme pour ^f on peut affirmer qu’il existe deux

Réels  et  tels que : ^{g( ) 0}  et ^{g( ) 0}  (1,53) 0,007 0

g    et g(1,54) 0,00006 0  . Donc [1,53 ;1,54 ]. g(5,98) 0, 009 0  et

(5,99) 0, 006 0

g    .Donc  [5,98 ;5,99 ].

t 0  

'( ) f t

( ) f t

3/4

0



t 6 ln 2 

'( )

g t + 0 ^

( ) g t

5 / 4



6ln(2) 3



t    ( )

f t + 0 ^{  }

( )

g t ^{ } 0 + 0 ^

4. 1Avec R C 1 et ¹

L4 on obtient : i t( )e^{t/ 2}2te^t et i t₂( )e^{t/ 2}2te^t.

4.2

 

' / 2 / 2

2

/ 2

1 1

( ) 2 2 2 1

2 4

2 1 1 2 ( )

4

t t t t t

t t t

i t e e te t e e

e t e e g t

    

 

 

        

 

 

    

 

. ^{m 0,2 M' 0,02} 4.3 i t( )i t₂( ) y t( ) 4 te^t 0, donc C i est au dessus de Ci₂

2 3 4 5 6 7 8

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4

-0,1 -0,2

0 1

0,1

x y

t 0  

'( )

i t + 0 ^

( ) i t

1

M

0

t 0   _

2'( )

i t + 0 ^ 0 ^

2( ) i t

1

m

' M

0

 

/ 2 / 2

/ 2

1 1

'( ) 2 2 2 1

2 4

2 1 1 2 ( ) 1,4

4

t t t t t

t t t

i t e e te t e e

e t e e f t M

    

 

 

        

 

 

     

 