Leçon 21: Position relative de deux courbes représentatives

Leçon 21: Position relative de deux courbes représentatives

Activités.

l.

^Compléter le tableau suivant

L=b2 -4ac a>0 a<0

a<0

Laparabole

!:ex'+bx+c

...I'axe

des abscisses

Laparabole y=^2 *bx+c

...1'axe

des abscisses

Â:0

Laparabole

!:ax2 +ir+"

...I'axe

des abscisses

Laparabole y=ax2 +bx+c

...1'axe

des abscisses

^>0

La parabole

y :

ax2

+bx+

c

... .l'axe

des abscisses

Laparabole y:o*2 *bx*c

...I'axe

des abscisses

2.

Dans un repère (O

tl,Ï),on

considère la parabole d'équation

y: x2 etladroite d'équation !=-x+2.

-

A

I'aide de la

figure

^:

la droite la parabole.

, on obtient ^: . en remplaç ant

y = -;l2

^dans

^{y :}

^v2

-x+2=

^x2

x2

+x-2=0

. le

discriminant A

de l'équation

x' +x-2=0

^est

...

2.

Sur la figure ci-dessous,

C et C'

sont deux paraboles d'équations respectives :

C:Y=12,

C';y=-(x-

²⁾²

+2

Mathématique C4-96

-

A l'aide

de la figure ^: . ces deux paraboles

. en

remplaçant y

_{= x2 dans}

y : -(x-2)'z +2,

^on

^obtient

^:

f ^{:-(x-2f +2}

*, ^{:_G, _4xt+)+z}

2x2

+4x+2=0

. le

discriminant Â

de

I'équation

2xz

+4x+2:0

est

Le cours

1. Position d'une-droite par rapport

à une

parabole

Soit

la parabole

I d'équation y

₌

ax'

+ bx +

c

et la

droite g

d'équationY=mx+p.

- Pour étudier la

position

de la

droite I

^{par rapport à la}

^{parabole g,}

on résout

l'équation

ax2 + bx + c

: mxt p ov ax' +(b -m)x

^{+ (c}

^{- p)}

^{= O}

.

Cas

Â<0

La

droite D etla parabole I

^ne coupent ^pas.

.

Cas

A:0

La

droite D etlaparabole I

^{sont tangents.}

. Â>0

La

droite E etlaparabole I

^coupent en deux points.

Exemple : Selon les valeurs du

réel

/c, donner la

position

de la parabole

9: y:

12

-2**2k-4

par rapport à I'axe des abscisses

(y

_{= Q;.}

Solution:

On résout

l'équation x' -

^{2x + 2k}

-

⁴

:0

Mathématique C4-97

I

On

a: A:(-2)'-4(l)(2k-4)=-8k+20

signe du

discriminant

A

=-8k+2O

On constate que :

o A:-8fr+20>0lorsque

deux points.

o A: _-8fr

⁺

20:0

lorsque abscisses.

o Â: _-8k

+ 20

<0

lorsque abscisses. ^-

Exemple

2

: Selon les valeurs du

réel fr,

donner la

position

de parabole

I

^:

^y : _-*2

pu, rapport à la

droite D : y =-2x+k

^.

Solution :

On résout

l'équation - x' :4x

+

k ou

x2

-2x

⁺

^k :

O

On a

: L: (-2)2-4(lxt)

₌

4k

^{+ 4}

On constate que :

o Â= 4k +4 >0

lorsque

k <l

^donc

laparabole

.9 coupe

ladroite I

en deux points.

o A= 4k+4=0

lorsque

È:l

^donc

laparabole f,

est tangente à la

droite 2.

o Â:-8k+2O<0lorsque

/c

>l

donc

laparabole g

ne coupepas

ladroite g.

2. Position relative

de

deux paraboles

Exemple 3 : Déterminer le réel

a ^pour

^que la

parabole 9' : y=

x2soit tangente à la parabole

9': Y:-*2 ^+ax-2.

Solution:

On résout

l'équation x'

=

-x'

^{+ ctx}

-2

^{ou 2xz}

-2x ⁺² :

0

Pour que la

parabole f

soit tangente à la parabole

9'

_,

il

^{faut que}

: Â:0

On

a: L:(-o)z -4(2)(2)=o2 -16

A:0 équivautà a2 -16:0 ^d'où a:!4.

Mathématique

C+llS

k <

5

_

^{donc la}

^parabole

^{P coupe l'axe} des abscisses en '|rL

k :1

donc la

parabole

P est tangente à

I'axe

des

k >:

5

)'

^{donc la}

^parabole

P ne coupe pas

I'axe

deS

Exercices

l.

^Selon les valeurs du

réel a,

donner la

position

de parabole

g

_:

|

⁼

^2x'

^|

^+3x -

^a+

I

^par rapport à I'axe des abscisses.

2.

^Pour chacun ^des cas suivants, donner la

position

de la parabole par rapport à la droite proposée.

a

A.

y=-x'+l,y=4x+5.

'^

b.y=x" +x-4,y=1x+2.

.|

c. y=4x'-6x+l,y=2x-4.

d. y=-r2 *I,f _=4x+3.

3.

Pour chacun des cas, déterminer les coordonnées des points d'intersection de deux paraboles.

A.

y=x'-3x+3,y=2x-l

a

b. y=x'-3x,y:3x-9.

a

4.

Déterminer le reel & pour que la droite

d'équation / ^=2x+k

^{soit tangente à la}

parabole d'équation

'!

=

x2 -4x-5.

5.

Déterminer les réels

a

^e!-

b

^{pour que la} parabole d'équatioir

! ^:

^{x2 +}

^ax+b

^soit

tangente à la parabole

d'équatior y - -*2

^upoint (-1,-l).

Mathématique C4-99