C ORRIGÉ DU DEVOIR MM1 — MIASH G ROUPE 1 À rendre sur moodle
mardi 24 novembre 2020, avant 20 h
EXERCICE 1. Dans R
2affine, déterminer l’équation paramétrique et l’équation cartésienne de la droite passant par les points A et B dans les cas suivants :
1. A = (2, 1), B = ( − 1, 3)
Réponse — On choisit comme vecteur directeur ~u = AB ~ =
− 3 2
et comme origine le point A. On en déduit la représentation paramétrique
x = 2 − 3λ y = 1 + 2λ
En éliminant λ via l’écriture
2−x3= λ =
−1+2 y, on obtient l’équation cartési- enne 2x + 3y = 7.
2. B = (1, 2), B = ( − 2, − 4)
Réponse — On choisit comme vecteur directeur ~u = −
13
AB ~ = 1
2
et comme origine le point A. On en déduit la représentation paramétrique
x = λ
y = 2λ
En éliminant λ via l’écriture s = λ =
y2, on obtient l’équation cartésienne 2x − y = 0.
EXERCICE 2. Dans R
2affine, déterminer un vecteur directeur de la droite D et en donner une équation paramétrique dans les cas suivants :
1. D est la droite d’équation cartésienne 8x − y = 2
Réponse — On obtient un vecteur directeur ~u en prenant une solution non triviale de l’équation linéaire homogène associée 8x − y = 0, par exemple
~u = 1
8
. On choisit comme origine n’importe quel point dont les co- ordonnées sont solutions de 8x − y = 2, par exemple O = (1, 6). On en déduit la représentation paramétrique
x = 1 + λ
y = 6 + 8λ
2. D est la droite d’équation cartésienne 5x + 3y = 0.
Réponse — On obtient un vecteur directeur ~u en prenant une solution non triviale de l’équation linéaire homogène associée (qui est la même), par exemple ~u =
3
− 5
. On choisit comme origine O = (0, 0). On en déduit la représentation paramétrique
x = 3λ y = − 5λ
EXERCICE 3. Dans R
3affine, déterminer un repère et une équation paramétrique des plans P
1, P
2et P
3définis par :
(1)
1. P
1est le plan d’équation cartésienne 2x + y = 0
Réponse — On choisit comme origine O = (0, 0, 0). On obtient deux vecteurs directeurs ~u et ~v en prenant des solutions non triviales de l’équation linéaire homogène associée (qui est la même ici), par exemple ~u =
1
− 2 0
et ~v =
0 0 1
. On vérifie que ~u et ~v sont linéairement indépendants :
∀ λ, µ ∈ R , λ~u + µ~v = ~ 0 ⇐⇒ [(λ = 0) ∧ ( − 2λ = 0) ∧ (µ = 0)] = ⇒ λ = µ = 0. On en déduit la représentation paramétrique
x = λ
y = − 2λ
z = µ
2. P
2est le plan d’équation cartésienne x + 3y + 2z = 5
Réponse — On choisit comme origine O = (0, 1, 1). On choisit deux vecteurs ~u et ~v qui sont des solutions non triviales de l’équation linéaire homogène associée x + 3y + 2z = 0, par exemple ~u =
3
− 1 0
et
~v =
0
− 2 3
. On vérifie que ~u et ~v sont linéairement indépendants :
∀ λ, µ ∈ R , λ~u + µ~v = ~ 0 ⇐⇒ [(3λ = 0) ∧ ( − λ − 2µ = 0) ∧ (3µ = 0)] = ⇒
λ = µ = 0. On en déduit la représentation paramétrique
x = 3λ
y = 1 − λ − 2µ
z = 1 + 3µ
3. P
3est le plan d’équation cartésienne x − y − z = 1
Réponse — On choisit comme origine O = (1, 0, 0). On choisit deux vecteurs ~u et ~v qui sont des solutions non triviales de l’équation linéaire ho- mogène associée x − y − z = 0, par exemple ~u =
1 1 0
et ~v =
1 0 1
. On
vérifie que ~u et ~v sont linéairement indépendants : ∀ λ, µ ∈ R , λ~u + µ~v = ~ 0
⇐⇒ [(λ + µ = 0) ∧ (λ = 0) ∧ (µ = 0)] = ⇒ λ = µ = 0. On en déduit la représentation paramétrique
x = 1 + λ + µ
y = λ
z = µ
(2) Déterminer un repère et une équation paramétrique pour chacun des droites intersection P
1∩ P
2, P
2∩ P
3et P
3∩ P
1.
Réponse — • Pour P
1∩ P
2, on procède en résolvant le système 2x + y = 0
x + 3y + 2z = 5 par la méthode de Gauss :
2 1 0 0 1 3 2 5
⇐⇒ · · · ⇐⇒
1 0 − 2/5 − 1 0 1 4/5 2
On en déduit la représentation paramétrique en introduisant le paramètre λ = z/5 et donc un repère (O, ~u) de P
2∩ P
3:
x = − 1 + 2λ y = 2 − 4λ
z = 5λ
donc O = ( − 1, 2, 0) et ~u =
2
− 4 5
• On procède de même pour P
2∩ P
3, la méthode de Gauss donne 1 3 2 5
1 − 1 − 1 1
⇐⇒ · · · ⇐⇒
1 0 − 1/4 2 0 1 3/4 1
On en déduit la représentation paramétrique en introduisant le paramètre λ = z/4 et donc un repère (O, ~u) de P
2∩ P
3:
x = 2 + λ y = 1 − 3λ
z = 4λ
donc O = (2, 1, 0) et ~u =
1
− 3 4
• On procède de même pour P
3∩ P
1, la méthode de Gauss donne 1 − 1 − 1 1
2 1 0 0
⇐⇒ · · · ⇐⇒
1 0 − 1/3 1/3 0 1 2/3 − 2/3
On en déduit la représentation paramétrique en introduisant le paramètre λ = z/3 et donc un repère (O, ~u) de P
3∩ P
1:
x = 1/3 + λ
y = − 2/3 − 2λ
z = 3λ
donc O = ( 1 3 , − 2
3 , 0) et ~u =
1
− 2 3
EXERCICE 4. Dans R
3affine, déterminer l’équation cartésienne du plan P passant par les points A, B et C dans les cas suivants :
1. A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1)
Réponse — Une première méthode (qui s’avère ici la plus simple) consiste à chercher des coefficients a, b, c, d ∈ R tels que les points A, B et C soient contenus dans le plan d’équation ax + by + cz = d. Cela donne le système
a = d
b = d
c = d
⇐⇒ a = a = b = c = d
On choisit d = 1, on obtient ainsi l’équation x + y + z = 1.
Une autre méthode (plus compliquée ici) consiste à chercher un repère, puis une représentation paramétrique et obtenir l’équation en éliminant les paramètres. On peut choisir l’origine O = (1, 0, 0) et les vecteurs de base
~u = AB ~ =
− 1 1 0
et ~v = AC ~ =
− 1 0 1
. D’où la représentation
paramétrique
x = 1 − λ − µ
y = λ
z = µ
⇐⇒
x = 1 − x − z
λ = y
µ = z
et on retrouve ainsi l’équation x + y + z = 1.
2. A = (2, 1, 0), B = ( − 1, 1, 1), C = ( − 1, 0, 1)
Réponse — La première méthode (chercher directement des coefficients a, b, c, d ∈ R de l’équation ax + by + cz = d) conduit au système
2a + b = d
− a + b + c = d
− a + c = d
que l’on peut résoudre par la méthode de Gauss :
2 1 0 d
− 1 1 1 d
− 1 0 1 d
⇐⇒ · · · ⇐⇒
1 0 0 d/2 0 1 0 0 0 0 1 3d/2
On choisit d = 2, on obtient ainsi (a, b, c) = (1, 0, 3) et l’équation x + 3z = 2.
L’autre méthode consiste à construire un repère et une représentation paramétrique.
On choisit l’origine O = C = ( − 1, 0, 1) et les vecteurs de base ~u = AB ~ =
− 3 0 1
et ~v = CB ~ =
0 1 0
. D’où la représentation paramétrique
x = − 1 − 3λ
y = µ
z = 1 + λ
⇐⇒ · · · ⇐⇒
3λ = − 1 − x
µ = y
λ = − 1 + z On écrit alors que le dernier système, dans lequel les inconnues sont λ et µ et x, y, z jouent le rôle de paramètres doit être compatible
1:
3 0 − 1 − x 0 1 y 1 0 − 1 + z
⇐⇒ · · · ⇐⇒
0 0 2 − x − 3z
0 1 y
1 0 − 1 + z
On trouve que ce système est compatible ssi 2 − x − 3z = 0 et on retrouve ainsi l’équation x + 3z = 2.
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