Partie B — Etude de la position relative de deux courbes

Terminale S2 DS2 (2 heures) Octobre 2007

Exercice 1 :

Partie A — Etude d’une fonction auxiliaire

x²+x+ 1

e^−x−1.

1.1.Déterminer la limite deφen−∞.On admettra que la limite de φen+∞est−1.

1.2.Etudier le sens de variations deφet dresser son tableau de variations surR.

2.Démontrer que l’équationφ(x) = 0admet deux solutions dansR,dont l’une qui sera notéeαest dans[1; +∞.[.Déterminer un encadrement d’amplitude10⁻² deα.

3. En déduire le signe deφ(x)surRet le présenter dans un tableau.

Partie B — Etude de la position relative de deux courbes

Les courbes ci-contre sont celles des fonctions f etgdéfinies sur Rpar :

f(x) = (2x+ 1)e^−x etg(x) = 2x+ 1

x²+x+ 1 ^{-1 1 2}

-1 1

Leurs courbes représentatives dans le repère orthogonal O;−→

i ,−→ j ,−→

k

sont notées(Cf)et(Cg).

1. Démontrer que ces deux courbes passent par le même pointA(0; 1) et admettent en ce point la même tangente.

2.1.Démontrer que pour tout nombre réel x:f(x)−g(x) = (2x+ 1)φ(x)

x²+x+ 1 oùφest la fonction étudiée dans la partieA.

2.2.A l’aide d’un tableau, étudier le signe def(x)−g(x)surR. 2.3.En déduire les positions relatives des courbes(Cf)et(Cg).

Exercice 2 :

On considère la suite(un)définie, pour tout entier naturelnpar :

u0= 1

u_n+1=u_n+ 2n+ 3 1. Etudier la monotonie de la suite(un).

2.1Démontrer que pour tout enyier natreln, u_n> n². 2.2.Quelle est la limite de la suite (un).

3. Conjecturer une expression deun en fonction den,puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

1