cours transformée de Laplace

(1)

Transformation de Laplace

Dans ce chapitre nous allons introduire un outil mathématique puissant, la transformation de Laplace, pour l'étude des circuits linéaires en régime transitoire. Cette transformation permet d'associer à toute fonction du temps f(t) une fonction F( p ) d'une variable complexe ^{p a}^{ } ^jb. Elle permet de remplacer les opérations analytiques de dérivation et d'intégration par des opérations algébriques. Cette propriété facilite la résolution des équations différentielles. L'application de la transformation de Laplace permet de plus d'avoir à écrire ces équations.

Intégrales généralisées ( ou intégrales impropres )

Définition : Soit f une fonction définie sur ^_^a^;^^_, continue ou continue par morceau sur cet intervalle . Si ^{I x}^{( )} a une limite finie quand x tend vers ^, on dit que l’intégrale



_a^^{f t dt}^{( )} converge , et on pose

lim ^x ( )

x a f t dt A





 . On note alors ^{( )}

a^f t dtA



.Dans le cas contraire , on dit que ^{( )}

a^f t dt



est divergente.

Théorème :

Si^f est une fonction à valeurs réelles ou complexes telle que ^{( )}

a^ f t dt



converge , alors ^{( )}

a^ f t dt



converge .

Fonctions causales

Une fonction de la variable réelle t est dite causale si pour tout t strictement négatif . On a : ^{f t}^{( ) 0}^ .

Définition : on appelle fonction échelon unité ( notée U (t) ) définie sur _ par U ^{( )}^t  ^^₁⁰  ^{ }_t^t ₀⁰ et représentée sur la figure 1 .

Pour toute fonction f définie sur _ ,la fonction ^f^U est une fonction causale.

Remarque

 U n’est pas continue en 0 , elle est continue à droite de 0 au voisinage de 0.

On rend une fonction causale en la multipliant par la fonction échelon  unité.

Fonction rampe unité

La fonction rampe unité est définie sur _ par ( ) 0 0

( ) ( )

( ) 0

f t si t

ou f t t t

f t t si t

  

   

 U

Fonction échelon- unité retardée de a

Soit f une fonction numérique de la variable réelle t définie sur _ , et soit g la fonction définie par

( ) ( )

g t  f t a , a étant un réel positif, on dit que la fonction g est retardée de a .

La fonction h définie par ^{h t}^{( )}^ ^{f t a}⁽ ^ ⁾ , a étant un réel positif , est dite en avance de a . Remarque : Dans le plan rapporté à un repère ( ; ; )O i j 

; la courbe représentative de cette fonction g se déduit de celle de f par une translation de vecteur _ai^

( 1) 0 1

( 1) 1 1

t si t

   

   

 U

U . Soit ^{g t}^{( )}^ ^{f t}⁽ ^^{1) (}^U ^t^¹⁾. Fonction échelon- unité retardée de 2 ( 2) 0 2

( 2) 1 2

t si t

   

   

 U U

0 1

t U(t)

0 1

1

t

0 1

1

t y

2

2 3 4 5

-1 0 1 1

t

(2)

( ) 0 0

( ) sin 0

f t si t f t t si t

  

  

 ^{g t}^{( ) sin}^ ^t^U ^{( )}^t

Fonction retardée de  :

⁽ ^{) 0} ( ) sin( )

f t si t

f t t si t

     

     

 ;

^{f t}⁽ ^{  }^{) sin(}^t^{ }^{) (}^U ^t^{ }⁾ Fonction créneau

Soient a et b deux réels tels que 0 a b et k un nombre réel .La fonction créneau est définie par

^{g t}^{( )}^^k



^U ⁽^{t a}^ ⁾^^U ⁽^{t b}^ ⁾



Du graphique à la formule

Sur l’intervalle ^]^{ }^;1] , on reconnaît ^{f t}^{( )}^^t^U ^{( )}^t .

Sur l’intervalle ^{[1; 2 [}, avec ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( )}^t , on obtient le segment [AB1]et pour passer de [AB1] à^[ÂB^], Il suffit d’ajouter ^{ }⁽^t ^{1) (}Û ^t^¹⁾. Donc sur ^]^{ }^{; 2]}, ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( ) (}^t ^{ }^t ^{1) (}Û ^t^¹⁾.

Sur ^{[ 2 ;3 [}, avec l’expression ci-dessus

de ^{f t}^{( )}, on obtient le segment [BC1]et on a vu que

pour passer de [BC1] à^[^BC^], il suffit d’ajouter ^{ }⁽^t ^{2) (}Û ^t^²⁾. Donc sur ^]^{ }^{; 3]}, ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( ) (}^t ^{ }^t ^{1) (}Û ^t^{  }^{1) (}^t ^{2) (}Û ^t^²⁾.

Sur ^{[3 ;}^^[, avec l’expression ci-dessus de ^{f t}^{( )}, on obtient la demi-droite ^[^Cu⁾et on a vu que pour passer de la demi-droite ^[^Cu⁾ à ^{[ )}^Ct , il suffit d’ajouter ⁽^t^^{3) (}^U ^t^³⁾.

En définitive , pour tout nombre réel t, ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( ) (}^t ^{ }^t ^{1) (}Û ^t^{  }^{1) (}^t ^{2) (}Û ^t^{  }^{2) (}^t ^{3) (}Û ^t^³⁾.

t  0 1 2 3 ^

( )

tU t 0 ^t ^t ^t ^t

(t 1) (t 1)

  U  0 0 ^{ }⁽^t ¹⁾ ^{ }⁽^t ¹⁾ ^{ }⁽^t ¹⁾

(t 2) (t 2)

  U  0 0 ^{ }⁽^t ²⁾ ^{ }⁽^t ²⁾

(t3) (U t3) 0 0 0 0 ⁽^t^³⁾

( )

f t 0 t 1 ^{ }^t ³ 0

Cas général

 2

-1 0 1



 









-1 0 1 b 1

t y

a k

( ) 0 ( ) ( ) 0

f t si t a f t k si a t b f t si t b

  

   

  



2 3 4 5

-1 2

0 1

1

x y

A B

C B₁

C₁

(3)

Sur l’intervalle ] ; ]t0 , on reconnaît

0

( ) E ( )

f t t t

 t U .

Sur l’intervalle [ ; 2 [t0 t0 , avec

0

( ) E ( )

f t t t

t U ,

on obtient le segment [AB1]et on a vu pour passer de [AB1] à^[^AB^],il suffit d’ajouter ⁰ ⁰

0

( ) ( )

E t t t t

t  U  .

Donc sur ] ; 2 ]t0 , ⁰ ⁰

0 0

( ) E ( ) E( ) ( )

f t t t t t t t

t t

 U   U  .

Sur [2 ;3 [t0 t0 , avec l’expression ci-dessus de f(t) , on obtient le segment [BC1]et on a vu que pour passer de [BC1] à^[^BC^], il suffit d’ajouter 0 0

0

( 2 ) ( 2 )

E t t t t

t  U  .

Donc sur ] ; 3 ]t0 , 0 0 0 0

0 0 0

( ) E ( ) E( ) ( ) E( 2 ) ( 2 )

f t t t t t t t t t t t

t t t

 U   U    U  .

Sur [3 ;t0 [, avec l’expression ci-dessus de ^{f t}^{( )}, on obtient la demi-droite ^[^Cu⁾et on a vu que pour passer de la demi-droite ^[^Cu⁾ à ^{[ )}^Ct , il suffit d’ajouter ⁰ ⁰

0

( 3 ) ( 3 )

E t t t t

t  U  . En définitive , pour tout nombre

réel t, ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰

0 0 0 0

( ) E ( ) E( ) ( ) E( 2 ) ( 2 ) E( 3 ) ( 3 )

f t t t t t t t t t t t t t t t

t t t t

 U   U    U    U 

2.A l’aide d’un tableau , donner l’expression de f(t) sur chacun des intervalles où elle est définie

Remarque : dans l’expression obtenue pour ^{f t}^{( )}on va donc remplacer ⁽^t^¹⁾par (t t 0), ⁽^t^¹⁾par (t2 )t0 et ⁽^t^³⁾par (t3 )t0 . D’autre part la droite (OA ) , où Aa pour coordonnées ( 1 ; 1 ) , de coefficient directeur 1 est remplacée par la droite ( OA’) , où A’ a pour coordonnées ( t0 ; E ) de coefficient directeur E t/ 0 et de même , par symétrie , la droite ( B’C’ ) a pour coefficient directeur E t/ 0. cas général :

t  0 t0 2t0 3t0 ^

0

Et ( )t

t U 0

0

Et

t ₀

Et

t ₀

Et

t ₀

Et t

0 0

0

( ) ( )

E t t t t

t  U  0 0

0 0

( )

E t t

t  ₀

0

( )

E t t

t  ₀

0

( )

E t t

t 

0 0

0

( 2 ) ( 2 )

E t t t t

t  U  0 0 0

0 0

( 2 ) E t t

t  ₀

0

( 2 ) E t t

t 

0 0 0

( / )(E t t3 ) (t U t3 )t 0 0 0 0 ( / )(E t0 t3 )t0

( )

f t 0 ( / )E t t0 E ( / )E t t₀ 3E 0

De la formule au graphique

Déterminer la représentation graphique de la fonction causale ^{f t}^{( )} définie sur  par : ^{f t}^{( )}^^tÛ^{( ) 2(}^t ^ ^t^^{1) (}Û ^t^{ }^{1) 2(}^t^^{2) (}Û ^t^{  }^{2) (}^t ^{3) (}Û ^t^³⁾.

1. à l’aide d’un tableau donnant l’expression de ^{f t}^{( )} dans chacun des intervalles à considérer.

2. En donnant l’expression de ^{f t}^{( )}sur chacun des intervalles ^]^{ }^;0] ; ^{[ 0;1[} ; ^{[1; 2 [} ; ^{[ 2;3 [}et ^[3;^^[.

t  0 1 2 3 ^

( )

tU t 0 ^t ^t ^t ^t

2(t 1) (t 1)

  U  0 0 ^²⁽^t^¹⁾ ^²⁽^t^¹⁾ ^²⁽^t^¹⁾

2(t2) (U t2) 0 0 0 ²⁽^t^²⁾ ²⁽^t^²⁾

2t0 3t0 5t0

-1 2

0 t0

E A B

C B1

C1 +

t

u



(4)

(t 3) (t 3)

  U  0 0 0 0 ^{ }⁽^t ³⁾

( )

f t 0 t ^{ }^t ² ^t^² 1

b. ^Sur l’intervalle ^]^{ }^;1] , on reconnaît ^{f t}^{( )}^^t^U^{( )}^t .

on retrouve l’axe des abscisses pour ^]^{ }^;0]et le segment [OA]pour ^{[ 0;1[}.

Sur l’intervalle ^{[1; 2 [}, avec ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( )}^t , on obtient le segment [AB1]et pour passer de [AB1] à[AB2],puis de[AB2] à^[ÂB^] .Il suffit d’ajouter ^²⁽^t^^{1) (}Û ^t^¹⁾. Donc sur ^]^{ }^{; 2]}, ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( ) 2(}^t ^ ^t^^{1) (}Û ^t^¹⁾.

Sur ^{[ 2 ;3 [}, avec l’expression ci-dessus

de ^{f t}^{( )}, on obtient le segment [BC1]et on a vu que pour passer de [BC1] à^[^BC^], il suffit d’ajouter

²⁽^t^^{2) (}Û ^t^²⁾. Donc sur ^]^{ }^{; 3]}, ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( ) 2(}^t ^ ^t^^{1) (}Û ^t^{ }^{1) 2(}^t^^{2) (}Û ^t^²⁾.

Sur ^{[3 ;}^^[, avec l’expression ci-dessus de ^{f t}^{( )}, on obtient la demi-droite ^[^Cu⁾et on a vu que pour passer de la demi-droite ^[^Cu⁾ à ^[^Cv⁾, il suffit d’ajouter ^{ }⁽^t ^{3) (}^U ^t^³⁾.

En définitive , pour tout nombre réel t, ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( ) 2(}^t ^ ^t^^{1) (}Û ^t^{ }^{1) 2(}^t^^{2) (}Û ^t^{  }^{2) (}^t ^{3) (}Û ^t^³⁾. Exercices

1.Représenter graphiquement la fonction définie par : a.^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( ) (}^t ^{ }^t ^{1) (}Û ^t^{ }¹⁾ Û ⁽^t^²⁾. b. ^{f t}^{( )}^^tÛ ^{( ) 2(}^t ^ ^t^^{1) (}Û ^t^{  }^{1) (}^t ^{2) (}Û ^t^²⁾. c.^{g t}^{( )}^^tÛ ^{( ) 2(}^t ^ ^t^^^{) (}Û ^t^^^{) (}^{ }^t ^{2 ) (}^ Û ^t^^{2 )}^ 2. Représenter graphiquement la fonction définie par :

a. ^{f t}^{( ) cos}^ ^tÛ ^{( )}^t ; b. ^{f t}^{( ) sin}^ ^tÛ ^{( )}^t ; c. ^{f t}^{( )}^^t²Û ^{( )}^t d. ^{f t}^{( )}^ê^^tÛ ^{( )}^t e. f t( )e^{ }^{ }^t ^ U (t). TRANSFORMEE DE LAPLACE

Définition : On appelle transformée de Laplace d'une fonction causale ^f la fonction ^L ^{ }_{ }^f définie par ^{( )} ^{( )} ₀ ^{( )} ^pt ^lim ₀^x ^{( )} ^pt

F p f t ^ f t e^ dt x f t e^ dt

  

^L  







^{, où}^pest un nombre complexe.

Dans ce chapitre , on choisira pour^pun réel strictement positif .

La transformée de Laplace de la fonction échelon en utilisant la définition est :

0 0

1 1

( )

x px

x pt pt e

t e dt e

p p p

    

      

 



L U Comme ^p^⁰, _x^lim_^e^^px ^⁰, on en déduit L ^ U ^{( )}^t ^{ } ¹_p . Translation : Considérons la transformée d’une fonction décalée dans le temps :

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ^pt ( ) ( ) ^pt ^pa ( ) ^pt

f t a t a ^ f t a t a e^ dt a^ f t a t a e^ dt e^ ^f t e^ dt

         

 

  

L U U U ; où

( )t

U est la fonction échelon unité .En effectuant le changement de variable ^{x t a}^{ } , il vient :

( )

( ) ( ) ( ) ^{p x a} ^pa 0 ( ) ^px

f t a t a a^f x e^ ^ dx e^ ^f x e^ dx

    

 

 

L U Donc L f t a(  )U (t a )e^^paF p( ).

Théorème du retard : pour tout ^t^^ , Si ^^{( )}^t ^ ^{f t}⁽ ^^^{) (}^{U t}^^⁾, alors L ( )t e^^pL f t( ) ( )U t e^^pF p( ),

( )

0 0

( ) ( ) ^x ( ) ^pt ^x ( ) ^{p u} ^p ^x ( ) ^pu

f t t f t e^ dt ^f u e^ ^du e^{ } ^f u e^ du

           

 

  

L U .

xlim x

     et puisque la fonction f admet une transformée de Laplace, ^lim ₀^x ^{( )} ^{p u} ^{( )}

x ^f u e^ dt F p





 ^,

d’où ^lim ₀^x ⁽ ⁾ ^{p t} ^p ^{( )}

x f t e^ dt e^{ }F p





    ^.

2 3 4

2

-1

0 1

1 ^A

B

C B₁

C1 B2

+

 v u

(5)

Effet de la multiplication par_e^^at

Théorème : Si ^{F p}^{( )}^^L ^_^{f t}^{( ) ( )}Û ^t ^_, alors L ^ê^ât^{f t}^{( ) ( )}U ^t   ^{F p a}⁽  ⁾,( a )

Considérons la transformations suivante : ^L e^^atf t( ) ( )^U t  



₀^e e^^at ^^ptf t dt( ) 



₀^e^{ }⁽^{a p t}⁾ f t dt( ) Donc ^L ^__ê^ât^{f t}^{( ) ( )}Û ^t ^{ }__ ^{F p a}⁽ ^ ⁾.

Transformée de Laplace de t e^^atU( )t , ^aréel ou complexe

Il faut calculer ⁽ ⁾

0 0

( ) ( )

at at pt a p t

e^ t ^e^ t e^ dt ^e^{ } dt

   

 

 

L U U posons ⁽ ⁾

( ) 0^x ^{p a t}

I x 



e^{ } dt Si ^{p a}^{ }⁰ ,

( ) 0^x

I x 



dtx^{, donc}^x^{lim ( )}^^{I x} ^{ } et l’intégrale ⁽ ⁾

( ) 0^x ^{p a t}

I x 



e^{ } dt^diverge.

Si ^{p a}^{ }⁰, ₀ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

0

1 1

( )

p a t x

x p a t e p a x

I x e dt e

p a p a p a

       





       , on suppose que R p ae⁽  ^{) 0} donc _x^lim_ê^{ }⁽^{p a x}⁾ ^⁰ et _x^{lim ( )}_^{I x} ^ _{p a}¹_ . On a donc ^L ^_ê^âtÛ ^{( )}^t ^{ }_ _{p a}¹_ si R pe^{( )} R ae^{( )}. Transformée de ^f^{( ) ( )}^^t Û ^t ; ^{ }⁰,effet d’un changement d’échelle sur la variable

Théorème : Si ^{F p}^{( )}^^L ^_^{f t}^{( ) ( )}^U ^t ^_, alors L ^{( ( ) ( ))}^f ^^tU ^t ^¹ ^F^{ }  ^p , avec ^{ }⁰.

Soit f une fonction admettant F comme transformée de Laplace et ^ un réel quelconque strictement positif.

On a :

( ( ) ( ))f t t 



0^f( )t e^^ptdt

L U . En faisant le changement de variable ^u^{ }^t, on obtient ^du^{ }^dt soit ^dt^^du

 . De plus , pour t0on a u0, et pour t tend vers .On obtient donc

0 0 0

1 1

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )

pu pu

pt du p

f t t ^f t e^ dt ^f u e^^ ^f u e^^ du F 

 



 



 



    

L U et L ^{( ( ) ( ))}^f ^^tU ^t ^¹^F^{ }  ^p .

Exemple : ^(cos ^{( ))} ₂

1 t t p

 p

L U  , donc

2

2 2 2 2 2 2

(cos ( )) 1

( )

1 p

p p

t t

p p

p

  

   

     

 

L U

Fonctions puissances _t__tⁿ( n N *)

n = 1 Considérons la fonction f t1( )t U t( ), on obtient : ^L ( ( )f t1 ^U ( ))t 



0^t^U ( )t e^^ptdt



0^t e^^ptdt

On peut procéder à une intégration par parties, en posant : ^{u t}^{( )}^^t et v t'( )e^^pt, on obtient : ^{u t}^{'( ) 1}^ et ( ) 1 ^pt

v t e

p

   d’où ( si ^p^⁰). ₂ ₂

0 0

1 1 1 1

x x

pt pt pt

x x

pt te pt te e px x

t e dt e dt e

p p p p p p p p

  

        

         

 

^.

On obtient pour ^p^⁰ : 0 2

(t ( )))t t e ^ptdt 1 p

 







L U .Donc ¹ 2

( ) ( ( )) 1

F p t t

 p

=L U

n = 2 : 2 ² ²

0 0

( ( ) ( ))f t t 



^t  ( )t e^^ptdt



^t e^^ptdt

L U U . On peut procéder à une intégration par parties, en

posant : u t( )t² et v t'( )e^^pt, on obtient : ^{u t}^{'( )}^^t et ^{v t}^{( )}^{ }¹_p^e^^pt d’où ( si ^p^⁰).

2 2

2

0 0 0

0 0

2 2

x x

pt pt

x pt t e x pt t e x pt

t e dt te dt te dt

p p p p

 

      

   

   

   

   

  

, on remarque que _x^lim_^{x e}² ^^px ^⁰ et

0 2

( ( )) lim ^x ^pt 1

t t x t e dt

p



 





L U d’où : ₀ ^{t e}² ^pt^dt ²₃

p

  



^et^{F p}²^{( )}^=L ⁽^t²^U ^{( ))}^t ^ _p²³ ^.

Généralisation :Transformée de LAPLACE de tⁿU ( )t (ⁿ^_ ).

On sait déjà que pour ^p^⁰ , 0 1 ( )

F p  p ; ^{F p}¹^{( )}^ _p¹₂ et ^{F p}²^{( )}^ _p²₃ .On peut procéder à une intégration par