Transformation de Laplace

DS n ^◦ 7

mercredi 30 janvier 2019 Sujet plus dur

Transformation de Laplace

Les fonctions utilisées dans ce problème sont continues sur[0,+∞[à valeurs réelles ou complexes.

Soitf une telle fonction. Pour s∈C, si le symboleR+∞

0 f(t)e^−stdta un sens, on noteL(f)(s) =R+∞

0 f(t)e^−stdt. L(f)est la transformée de Laplace def.

I) Dénition et étude de L(f)

On suppose quef vérie la propriété suivante : il existeα∈Rtel que la fonctiont→f(t)e^−αtest bornée sur[0,+∞[. on noteA(f) ={α∈R/ t→f(t)e^−αt est bornée sur[0,+∞[ }.

1. (a) Montrer queA(f)est un intervalle non majoré deR. On noteα(f)sa borne inférieure : α(f)∈R∪ {−∞}. (b) Montrer que α(f)peut-être ni ou inni.

Montrer que siα(f)∈R, alorsα(f)peut-être dansA(f)ou non.

2. (a) Soits∈Ravecs > α(f). Montrer que lim

t→+∞f(t)e^−st= 0

(b) Montrer que pour touts∈Ctel queRe(s)> α(f), alors la fonctiont→f(t)e^−stest intégrable sur[0,+∞[

(c) L(f)est-elle dénie en s=α(f)si (α(f)∈Retα(f)∈A(f)) ? (d) Que vautα(f)sif est une fonction polynomiale non nulle ?

CalculerL(u)oùuest la fonction dénie paru(t) =t.

(e) Soitγ∈C. On déniteγ :t→e^γt. Que vautα(eγ)? CalculerL(eγ).

3. (a) Montrer queL(f)est continue sur ]α(f),+∞[; Montrer queL(f)est continue sur Λ ={s∈C/Re(s)> α(f)}

Dans toute la suite, on se limite às∈R

(b) Étudier la limite de L(f)(s)quandstend vers+∞.

4. (a) Pourn∈N, uⁿf :t→tⁿf(t). Montrer queα(uⁿf) =α(f).

(b) Montrer que L(f)est de classec^∞sur]α(f),+∞[et que pour toutn∈N, Dⁿ(L(f)) = (−1)ⁿL(uⁿf) Dans la suite, pour α∈R, on noteF_α l'ensemble des f : [0,+∞[→C continues sur [0,+∞[ et telles que α(f)existe,α(f)6α. On note aussi C_α^∞ l'espace des fonctionsC^∞ sur ]α, α(f)[à valeurs dansC.

F_α est unC-espace vectoriel et Lune application linéaire de F_α dansC_α^∞

5. Soitα∈R. on noteEαl'espace vectoriel engendré par les fonctions du typet→e^γtP(t)oùγ∈CavecRe(γ)6α etP une fonction polynomiale.

(a) Vérier queEα⊂Fα, queEα est stable par dérivation et par la multiplication pareω oùRe(ω)60. (b) DéterminerL(e_γu^r)oùr∈N etRe(γ)6α.

(c) Montrer que si P est une fonction polynomiale, alors R =L(eγP)est une fonction rationnelle. Quels en sont ses pôles ?

(d) On suppose que ∀s∈]α,+∞[, R(s) = 0. Montrer queR= 0puis queP = 0. (e) Montrer que la restriction deLàE_α est injective.

6. (a) On suppose que f est de classe C¹ sur [0,+∞[ et que f et f⁰ sont dans un même Eα. Montrer que

∀s > α, L(f⁰)(s) =sL(f)(s)−f(0)

(b) Donner une généralisation pourf de classeC^psur[0,+∞[. On donnera les hypothèses utiles avec précision.

(c) Sous les hypothèses du a. , étudier la limite desL(f)(s)quand stend vers+∞.

7. (a) On suppose queα(f) = 0et quef est intégrable sur[0,+∞[. Étudier la limite deL(f)enO⁺. (b) Généraliser ce résultat au cas où α(f)est un réel quelconque.

II) Application

1. Calcul de l'intégrale de Dirichlet

Ici,f est la fonction dénie par : f(0) = 1 etf(t) = sin(t)

t pourt >0réel.

(a) Démontrer que la fonction F : R⁺ −→R dénie parF(x) = Z x

0

f(t)dt admet une limite nie réelle l en +∞.

(b) Montrer que ∀t>0,

sint t

> 1−cos(2t)

2t .

En déduire que la fonction sin(t)

t n'est pas intégrable sur[1,+∞[et donc n'est pas intégrable sur]0,+∞[. (c) Soitx >0. Démontrer que la fonctiont7−→sin(t)e^−xt est intégrable surR⁺.

Déterminer alorsZ +∞

0

sin(t)e^−xtdt.

(d) Déterminer, pourx >0, une expression simple deL(f)(x)et en déduire l.