année2008-2009 SÉRIESDEFONCTIONS MI3AlgèbreetanalysefondamentalesICHAPITREII

(1)

UNIVERSIT´ E PARIS 7 D E N I S D I D E R O T

MI3

Alg` ebre et analyse fondamentales I

CHAPITRE II

S´ ERIES DE FONCTIONS

ann´ ee 2008-2009

Auteurs : G´ erard Bourdaud Thierry Joly

D´ epartement de Formation

de 1

^er

Cycle de Sciences Exactes

(2)

(3)

CHAPITRE II MI3 – Ann´ ee 2008/09

S´ ERIES DE FONCTIONS

Plan du chapitre :

1 S´ eries de fonctions

1.1 Th´eor`emes fondamentaux 1.2 Exemples

2 S´ eries enti` eres

2.1 Convergence simple – Rayon de convergence 2.2 Opérations sur les séries entières

1.2.1 Somme – Produit 1.2.2 D´erivation – Int´egration

2.3 Développement de fonctions en séries entières

(4)

CHAPITRE II MI3

S´ ERIES DE FONCTIONS

1 S´ eries de fonctions

1.1 Th´ eor` emes fondamentaux

Soit (fn)n>0 une suite de fonctions, définies sur un même ensemble E, à valeurs réelles ou complexes. SoitAune partie deE; on dit que la série de fonctionsP

fnconverge simplement sur Asi, quel que soit x∈A, la s´erie num´eriqueP

fn(x) est convergente. La fonction f(x) =

X∞ n=0

fn(x)

est alors définie sur A. Dès lors, on souhaite en savoir un peu plus sur la fonction f : est-elle continue ? dérivable ? peut-on dériver ou intégrer f comme s’il s’agissait d’une somme finie de fonctions ?

Définition Soit (fn)n>0une suite de fonctions définies sur un ensembleA. On dit que la série de fonctionsP

fn converge normalementsurA s’il existe une suite positive (an)n>0telle que 1. |fn(x)|6an pour tout entiernet toutx∈A,

2. la s´erieP

an est convergente.

Théorème 1 Soit (fn)n>0 une suite de fonctions, définies sur un intervalle I de R. Soit c un

élément de [−∞,+∞]. On suppose que c est un élément de I ou une extrémité de I. Si la série de fonctionsP

fn converge normalement surI et si, pour toutn, la fonction fn admet une limite finie un en c, alors la s´erie P

un est convergente et l’on a

x→clim

³X^∞

n=0

fn(x)

´

= X∞ n=0

un.

Démonstration En faisant tendre x vers c dans l’inégalité |fn(x)| 6 an, on obtient |un| 6 an; le critère de comparaison montre alors que la série P

un est absolument convergente, donc convergente.

Pour ´etablir la seconde assertion, on se donne un ε >0 arbitraire. Puisque la s´erie P an est convergente, la proposition 9 (iii) du chapitre I nous dit qu’on peut trouver un entiern>0 tel que

X∞ j=n+1

aj< ε 4.

(5)

Consid´erons la fonction g(x) = Xn

j=0

fj(x) ; puisqu’il s’agit d’une somme finie, une propri´et´e banale des limites de fonctions nous donne

x→climg(x) = Xn j=0

uj.

Ainsi, d`es que xest assez proche dec, on a

¯¯g(x)− Xn j=0

uj

¯¯< ε 2 et donc

¯¯f(x)− X∞

j=0

uj

¯¯6¯

¯Xⁿ

j=0

¡fj(x)−uj

¢¯¯+¯

¯ X^∞

j=n+1

¡fj(x)−uj

¢¯¯

6¯

¯g(x)− Xn j=0

uj

¯¯ + 2 X∞ j=n+1

aj< ε .

¤ Théorème 2 Si la série de fonctions P

fn converge normalement sur un intervalleI deR et si chaque fonction fn est continue surI, la fonction

f(x) = X∞

n=0

fn(x) est d´efinie et continue sur I.

Démonstration Il s’agit d’une conséquence immédiate du théorème précédent.

¤ Théorème 3 Si la série de fonctionsP

fnconverge normalement sur l’intervalle[a, b]et si chaque fonction fn est continue sur [a, b], on a la propriété d’intégration terme à terme :

Z _b

a

Ã_∞ X

n=0

fn(x)

! dx=

X∞ n=0

Z _b

a

fn(x)dx .

D´emonstration S’agissant de sommes finies, on a Xn

j=0

Z _b

a

f_j(x)dx= Z _b

a

³Xⁿ

j=0

f_j(x)´ dx quel que soit l’entier n; on en d´eduit

¯¯

¯¯ Z _b

a

f(x)dx− Xn

j=0

³ Z ^b

a

fj(x)dx´¯

¯¯

¯=

¯¯

¯¯ Z _b

a

³ X^∞

j=n+1

fj(x)´ dx

¯¯

6 Z _b

a

X∞ j=n+1

|fj(x)|dx6(b−a) X∞ j=n+1

aj, d’o`u

n→∞lim Xn j=0

³ Z b a

fj(x)dx

´

= Z _b

a

f(x)dx .

¤

(6)

Théorème 4 SoitI un intervalle de Ret(fn)n>0 une suite de fonctions définies surI, telle que 1. pour tout entiern,fn est continûment dérivable sur I,

2. la s´erie de fonctionsX

f_n⁰ converge normalement surI, 3. il existex0∈I tel que la s´erie num´eriqueX

fn(x0)converge.

Alors la fonction f(x) = X∞ n=0

fn(x) est définie et continûment dérivable sur I; de plus on a la propriété de dérivation terme à terme:

∀x∈I f⁰(x) = X∞ n=0

f_n⁰(x).

D´emonstration Posons

g(x) = X∞ n=0

f_n⁰(x) et appliquons le théorème 3 à la série de fonctions P

f_n⁰ ; on obtient

∀x∈I Z _x

x0

g(t)dt= X∞ n=0

Z _x

x0

f_n⁰(t)dt= X∞ n=0

(fn(x)−fn(x0)) ;

l’égalitéfn(x) = (fn(x)−fn(x0)) +fn(x0), la condition (3) et la proposition 9 (iv) du chapitre I impliquent la convergence de la sérieP

fn(x) et la relation f(x) =f(x0) +

Z _x

x0

g(t)dt . Le th´eor`eme fondamental de l’analyse permet de conclure.

¤

1.2 Exemples

Exemple 1 Il a pour but de montrer que la convergence simple d’une série de fonctions P fn ne suffit pas pour garantir la continuité de la fonction somme, même si chaque fonctionfnest continue.

Soit

fn(x) =x(1−x)ⁿ (n∈N). Montrons que la s´erie P

fn converge simplement sur l’intervalle [0,1]. Pour 0 < x 6 1, on a 0 61−x <1 : la s´erieP

fn(x) est une série géométrique convergente. On afn(0) = 0 quel que soitn: la sérieP

fn(0) est donc trivialement convergente. Calculons la fonction sommef(x). On a ´evidemment f(0) = 0 et, pour x >0,

f(x) =x X∞ n=0

(1−x)ⁿ =x 1

1−(1−x) = 1 ; la fonction f est discontinue en 0.

Nous allons expliquer ce phénomène en montrant explicitement que la série ne converge pas normalement sur [0,1]. Pour cela, on calcule

an= sup

06x61|fn(x)|.

(7)

On note que la fonction fn est positive et — en la d´erivant — qu’elle atteint son maximum pour x= _n+1¹ ; cela donne

an = 1 n

µ n n+ 1

¶_n+1 . Si la s´erie P

fn convergeait normalement sur [0,1], la s´erie num´erique P

an serait convergente ; mais cela est impossible, puisque

an∼ 1

en (n→ ∞). Exemple 2 On se propose d’´etudier la s´erie de fonctionsX

fn, o`u fn(x) = xⁿ

n (n∈N^∗) et de calculer sa somme f(x), quand elle est d´efinie. On a

n→+∞lim

|fn+1(x)|

|fn(x)| = lim

n→+∞|x| n

n+ 1 =|x|; le crit`ere de d’Alembert montre que la s´erie P

fn converge simplement sur l’intervalle ]−1,+1[ . Par contre, elle ne converge pas normalement sur cet intervalle, puisque

sup

x∈]−1,+1[

|fn(x)|= 1 n,

terme général d’une série divergente. Fixons le nombrer∈]0,1[ ; on a

∀n>1 ∀x∈ [−r, r] |f_n⁰(x)|6rⁿ⁻¹, terme général d’une série géométrique convergente ; la série de fonctionsP

f_n⁰ est donc normalement convergente sur l’intervalle [−r, r]. Le théorème 4 entraˆıne la dérivabilité de la fonction f sur l’intervalle [−r, r]. La dérivabilité étant une propriété locale, le raisonnement précédent montre en fait quef est dérivable sur tout l’intervalle ouvert ]−1,+1[, ainsi que la relation

∀x∈]−1,1[ f⁰(x) = X∞ n=1

xⁿ⁻¹= 1 1−x.

Pour obtenirf(x), il suffit de prendre une primitive de (1−x)⁻¹, en notant quef s’annule en 0 ; il vient

∀x∈]−1,+1[ f(x) =−log(1−x). Exemple 3 Etudions la s´erie´

X xⁿ

n(n+ 1). (1)

Pour |x|>1, les propri´et´es classiques de la fonction exponentielle donnent

¯¯

¯¯ xⁿ n(n+ 1)

¯¯

¯¯= eⁿ^log^|x|

n(n+ 1) → +∞;

puisque son terme général ne tend pas vers 0, la série (1) est divergente. Pour|x|61, on a

¯¯

¯¯ xⁿ n(n+ 1)

¯¯

¯¯6 1 n(n+ 1);

(8)

or la s´erie X 1

n(n+ 1) est convergente, puisque son terme général est équivalent à 1/n², terme général d’une série de Riemann convergente. La série de fonctions (1) est normalement convergente sur [−1,+1] ; cela implique que sa sommef est définie et continue sur cet intervalle. La suite du travail va consister à calculerf(x) pour−1< x <+1, puis à tirer parti de la continuité def pour obtenirf(±1). La relation

1

n(n+ 1) = 1 n− 1

n+ 1 et le calcul de l’exemple 2 donnent, pour−1< x <+1, x6= 0,

f(x) = X∞ n=1

xⁿ n −

X∞ n=1

xⁿ n+ 1 =

X∞ n=1

xⁿ n −

X∞ n=2

xⁿ⁻¹ n

=−log(1−x)−1 x

¡−log(1−x)−x¢

= µ1

x−1

¶

log(1−x) + 1.

En faisant tendrexvers−1, on obtientf(−1) = 1−2 log 2. Pour obtenir la valeur def en 1, on utilise la propri´et´e suivante de la fonction logarithme :

t→0+lim tlogt= 0 ;

il vient alorsf(1) = 1. Est-ce ´etonnant de trouver une valeur aussi simple ? En fait on peut l’obtenir d’une mani`ere plus directe :

f(1) = lim

n→∞

Xn

j=1

µ1 j − 1

j+ 1

¶

= lim

n→∞

µ 1− 1

n+ 1

¶

= 1.

Exemple 4 Nous allons voir que lafonction zeta de Riemann, ζ(x) =

X∞ n=1

1 n^x

est définie et indéfiniment dérivable sur l’intervalle ]1,+∞[. La convergence simple de la série est une propriété connue des séries de Riemann. Pour établir l’existence de la dérivéeζ^(k), il suffit de fixerα >1 et de montrer la convergence normale de la série

X

n>1

d^k dx^k

µ 1 n^x

¶

sur l’intervalle [α,+∞[ ; or on a

¯¯

¯¯ d^k dx^k

µ 1 n^x

¶¯¯

¯¯=n^−xlog^kn6n^−αlog^kn .

On se fixe alors un réelα⁰∈]1, α[. On a limn→+∞n^α⁰^−αln^kn= 0 d’oùn^−αln^kn6n^−α⁰, à partir d’un certain rang, ce qui permet de conclure.

2 S´ eries enti` eres

Définition On appellesérie entière toute série de fonctions de la forme X

n>0

anzⁿ,

oùz est une variable complexe (ou réelle) et (an)n>0une suite numérique.

(9)

2.1 Convergence simple – Rayon de convergence

Remarque Pour tout suite (an)n>0à valeurs complexes, l’ensembleIdes réelsr>0 tels que la suite (anrⁿ)n>0est bornéeest toujours un intervalle de la forme I= [0, R]ouI= [0, R[ (R∈[0,+∞]).

En effet, on a évidemment 0∈I. De plus, sir∈Iet r⁰< r(r∈R⁺), alors la suite (anrⁿ)n>0 est bornée par un certain M ∈R et pour toutn>0 : |anr⁰ⁿ|6|anrⁿ|6M, autrement dit la suite (anr⁰ⁿ)n>0 est bornée par le mêmeM ∈R, d’oùr⁰ ∈I. On vient d’établir :

∀r>0 ∀r⁰>0 (r∈I et r⁰ < r ⇒ r⁰∈I).

Il s’ensuit que Iest n´ecessairement un intervalle de l’une des formes mentionn´ees plus haut.

Définition On appelle rayon de convergence d’une série entière X

n>0

anzⁿ l’unique R ∈[0,+∞]

tel que l’ensembleIdes r´eelsr>0 pour lesquels la suite (anrⁿ)n>0est born´ee ait l’une des formes : I= [0, R] ou I= [0, R[.

Proposition 5 Si Rest le rayon de convergence de la s´erie enti`ere X

n>0

anzⁿ, alors : – la s´erieX

n>0

anzⁿ converge absolument pour tout z∈C tel que|z|< R, – la s´erieX

n>0

anzⁿ diverge pour tout z∈Ctel que|z|> R.

|anzⁿ|=|anrⁿ| · µ|z|

r

¶_n 6M

µ|z|

r

¶_n

; comme la série géométrique :

X

n>0

M µ|z|

r

¶_n

est convergente, cela ´etablit l’absolue convergence de X

n>0

anzⁿ.

Lorsque|z|> R, la suite (an|z|ⁿ)n>0 n’est pas born´ee par d´efinition du rayon de convergence R. Comme¯

¯an|z|ⁿ¯

¯=|anzⁿ|, cela signifie que la suite (anzⁿ)n>0n’est pas born´ee ; en particulier, on n’a pas : lim

n→+∞anzⁿ = 0, donc la s´erieX

n>0

anzⁿ diverge.

¤ Il résulte de cette proposition que le rayon de convergence R d’une série entière X

n>0

anzⁿ est l’unique R∈[0,+∞] tel que :

– Si|z|< R, alors X

n>0

|anzⁿ| converge, – Si|z|> R, alors X

n>0

|anzⁿ| diverge.

Un moyen de déterminer R est donc d’étudier la nature de la série à termes positifs X

n>0

|anzⁿ| selon les valeurs de |z| `a l’aide du crit`ere de d’Alembert ou de celui de Cauchy.

(10)

Exemples • X

n>0

zⁿ

n. Utilisons le crit`ere de Cauchy :

n→+∞lim

¯¯

¯¯zⁿ n

¯¯

1/n

=|z| lim

n→+∞n^−1/n=|z|.

Ainsi, la s´erie `a termes positifs X

n>0

¯¯

¯¯zⁿ n

¯¯

¯¯converge si |z|<1 et diverge si |z|>1. En vertu de ce qui précède, le rayon de convergence de la série entière X

n>0

zⁿ

n ne peut ˆetre queR= 1.

• X

n>0

zⁿ

n². Utilisons le crit`ere de d’Alembert. Pour toutz∈Cnon nul :

n→+∞lim µ¯¯

¯¯ zⁿ⁺¹ (n+ 1)²

¯¯

¯¯ Á ¯¯

¯¯zⁿ n²

¯¯

¶

=|z| lim

n→+∞

n²

(n+ 1)² =|z|.

Ainsi, la s´erie `a termes positifs X

n>0

¯¯

¯¯zⁿ n²

¯¯

¯¯converge si |z|<1 et diverge si |z|>1. En vertu de ce qui précède, le rayon de convergence de la série entière X

n>0

zⁿ

n² ne peut ˆetre queR= 1.

Remarquons que pour toutz∈Ctel que|z|= 1, cette s´erie enti`ere est encore absolument convergente, puisque X

n>0

1

n² est une s´erie de Riemann convergente.

• X

n>0

anzⁿ, o`uan= 1

n! sinest impair etan= 0 sinest pair. On ne peut pas appliquer directement le critère de d’Alembert à la série X

n>0

|anzⁿ|. En effet, l’expression lim

n→+∞

|an+1zⁿ⁺¹|

|anzⁿ| n’a aucun sens, car les termes |an+1zⁿ⁺¹|

|anzⁿ| oùnest pair ne sont pas définis. Pour contourner cette difficulté, il suffit d’effectuer le changement d’indice n= 2k+ 1. Comme a_n= 0 pour tous les n pairs, les séries X

n>0

anzⁿ et X

k>0

a2k+1z^2k+1 sont de même nature et l’on peut désormais appliquer le critère de d’Alembert à la série de terme général bk =|a2k+1z^2k+1|:

b_k+1

bk =|a_2k+3z^2k+3|

|a2k+1z^2k+1| = |z|² (2k+ 2)(2k+ 3), donc lim

n→+∞bk+1/bk= 0 pour toutz6= 0. Ainsi, la s´erie `a termes positifsX

n>0

|a2k+1z^2k+1|converge pour toutz∈Cet le rayon de convergence de la s´erie enti`ere X

n>0

anzⁿ ne peut ˆetre queR= +∞.

• X

k>1

ckz^k, o`uck = 1 sikest un carr´e etck = 0 sinon.

Là encore, il est nettement recommandé d’effectuer un changement d’indice, rempla¸cant ainsi la série X

k>1

ckz^k par la s´erieX

n>1

zⁿ².

n→+∞lim

¯¯

¯zⁿ²

¯¯

¯^1/n= lim

n→+∞|z|ⁿ =

· 0 si|z|<1, +∞ si|z|>1.

Ainsi, selon le critère de Cauchy, la série à termes positifs X

n>0

¯¯

¯zⁿ²

¯¯

¯ converge si|z|<1 et diverge si|z|>1. Le rayon de convergence de X

n>0

zⁿ² ne peut donc ˆetre queR= 1.

(11)

Remarquons que pour tout z ∈ C tel que |z|= 1, cette s´erie enti`ere est divergente, puisqu’alors

n→+∞lim

¯¯

¯zⁿ²

¯¯

¯= 16= 0.

Définition Si R est le rayon de convergence de la série entière P

n>0a_nzⁿ, le disque ouvert de centre 0 et de rayonR— à savoirD(0, R) ={z∈C;|z|< R}— est appelédisque de convergence de la série entière.

Remarque En dépit de cette terminologie, la série entière peut aussi converger pour des points du cercle frontière C(0, R) ={z ∈C;|z|=R}. En effet, selon la proposition 5, l’ensemble D, o`u la série entière converge simplement, se doit seulement de vérifier :

D(0, R) ⊆ D ⊆ D(0, R)∪ C(0, R).

Or tout peut arriver sur C(0, R), comme le montrent les s´eries X

n>1

zⁿ², X

n>1

zⁿ

n et X

n>1

zⁿ n², des exemples ci-dessus qui sont toutes de rayon de convergence 1 :

• X

n>1

zⁿ² DV pour toutz∈ C(0,1) (car on n’a pas lim

n→+∞zⁿ² = 0)

• X

n>1

zⁿ

n DV pourz= 1∈ C(0,1) (s´erie harmonique)

CV pour z=−1∈ C(0,1) (s´erie harmonique altern´ee)

• X

n>1

zⁿ

n² CV pour toutz∈ C(0,1).

2.2 Op´ erations sur les s´ eries enti` eres

2.2.1 Somme – Produit

Proposition 6 SoitP

n>0anzⁿ etP

n>0bnzⁿ deux séries entières de rayons de convergence res- pectifs Ret R⁰. Les rayons de convergence des séries entièresP_+∞

n=0(an+bn)zⁿ et P_+∞

n=0cnzⁿ, o`u cn=P

p+q=napbq, sont au moins ´egaux `amin(R, R⁰); on a de plus pour tout nombre complexez tel que|z|<min(R, R⁰):

Ã_+∞

X

n=0

anzⁿ

! +

Ã_+∞

X

n=0

bnzⁿ

!

=

+∞X

n=0

(an+bn)zⁿ, Ã_+∞

X

n=0

anzⁿ

! Ã_+∞

X

n=0

bnzⁿ

!

=

+∞X

n=0

cnzⁿ.

D´emonstration La convergence des s´eriesP_+∞

n=0(an+bn)zⁿ,P_+∞

n=0cnzⁿ pour toutz∈Ctel que

|z|<min(R, R⁰) et les relations ci-dessus sont des conséquences immédiates des propositions 9 (iv) et 18 du chapitre I. Il s’ensuit naturellement que les rayons de convergence de ces séries entières valent au moins min(R, R⁰).

¤ Remarque La multiplication d’une s´erie enti`ere P_+∞

n=0anzⁿ (de rayon de convergence R) par une constante λ ∈ C est un cas particulier de la seconde relation : il suffit de prendre b0 = λ,

(12)

b1=b2=. . .=bn=. . .= 0. (Dans ce cas, le rayon de convergence de la s´erie produitP_+∞

n=0λanzⁿ est alors exactementR).

Exemples Les d´efinitions les plus usuelles des fonctions exp, cos et sin sur le plan complexe C sont :

exp(z) = X+∞

n=0

zⁿ

n!, cos(z) = X+∞

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ

(2n)!, sin(z) =

+∞X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!.

Le bien-fondé de ces définitions sera mieux compris dans les cours d’analyse du niveau L3. Pour l’instant, remarquons seulement que ces trois séries entières ont bien pour rayon de convergence R = +∞. (Cela se vérifie facilement comme dans les exemples plus haut à l’aide du critère de d’Alembert.) À l’aide de la proposition 6, on en déduit pour toutz∈C:

• cosz+isinz= X+∞

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ (2n)!+i

X+∞

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)! =

+∞X

n=0

(iz)²ⁿ (2n)! +

+∞X

n=0

(iz)²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! = exp(iz).

• Pour touta, b∈C: exp(az).exp(bz) =

+∞X

n=0

c_nzⁿ, avec :

cn = X

p+q=n

a^p p!

b^q q! =

Xn

p=0

a^p p!

b^n−p n−p! = 1

n!

Xn

p=0

C_n^pa^pb^n−p =(a+b)ⁿ n! , Ainsi,

exp(az).exp(bz) =

+∞X

n=0

[(a+b)z]ⁿ

n! = exp[(a+b)z].

En particulier, on a pour z= 1 :

expa.expb= exp(a+b).

2.2.2 D´erivation – Int´egration

Dans toute la suite de ce chapitre, on ne considérera plus que des séries entières d’une variable

r´eellex: X

n>0

anxⁿ,

où les coefficients a_n sont toujours a priori des nombres complexes. En vertu de la section 2.1, si R∈[0,+∞] est le rayon de convergence de cette série entière, alors l’ensemble de convergenceD de cette série est tel que :

]−R, R[ ⊂ D ⊂ [−R, R].

Proposition 7 On suppose que la s´erie enti`ere X

n>0

a_nxⁿ a un rayon de convergence R non nul.

Alors cette s´erie converge normalement sur l’intervalle[−r, r], quel que soitr∈]0, R[, et la fonction f(x) =X

n>0

anxⁿ (2)

est d´efinie et continue sur l’intervalle ]−R, R[.

D´emonstration On a |anxⁿ| 6 |an|rⁿ, pour tout n ∈ N et tout x ∈ [−r, r]. Si r < R, la proposition 5 nous dit que la s´erieP

|an|rⁿ est convergente. Ceci établit la première assertion. La seconde résulte du théorème 2, et du caractère local de la continuité.

¤

(13)

Proposition 8 Les s´eries enti`eres X

n>0

anxⁿ et X

n>1

nanxⁿ⁻¹ ont toujours un même rayon de con- vergence R. De plus, lorsqueR >0, la fonctionf définie par (2) est dérivable sur]−R, R[ et

∀x∈]−R, R[ f⁰(x) =X

n>1

nanxⁿ⁻¹. (3)

Ainsi, les séries entières — qui sont une généralisation des polynômes — se dérivent aussi facilement que ces derniers ! En utilisant de fa¸con répétée cette dernière proposition, on déduit facilement les corollaires suivants.

Corollaire 1 Sous les hypoth`eses de la proposition 7, la fonction f a pour primitives sur l’inter- valle]−R, R[les fonctions :

X

n>0

anxⁿ⁺¹

n+ 1 +C (C∈C).

Démonstration En effet, soitR⁰ le rayon de convergence de la série entière X

n>0

anxⁿ⁺¹

n+ 1 . (4)

En vertu de la proposition 8, on a R=R⁰ et, en désignant parF(x) la somme de la série (4), on a F⁰(x) =f(x) pour toutx∈]−R⁰, R⁰[ . Comme deux primitives def sur ]−R, R[ ne diffèrent que d’une constante, le corollaire s’ensuit.

¤ Corollaire 2 Sous les hypothèses de la proposition 7, la fonction f est indéfiniment dérivable sur ]−R , R[ et, pour toutx∈]−R , R[ et toutk∈N :

f^(k)(x) =X

n>k

n(n−1). . .(n−k+ 1)anx^n−k.

D´emonstration Il suffit d’appliquerk fois de suite la proposition 8.

¤ Corollaire 3 Sous les hypoth`eses de la proposition 7, on a : an =f⁽ⁿ⁾(0)

n! pour tout entiern>0.

D´emonstration En vertu du corollaire 2, on a bien :f^(k)(0) =k(k−1). . .2.1ak=k!ak.

¤ Corollaire 4 Principe d’identification. Soit

X

n>0

anxⁿ et X

n>0

bnxⁿ,

deux s´eries enti`eres convergeant sur]−r, r[avecr >0, et soitf(x)etg(x)leurs sommes respectives.

Si l’on af(x) =g(x) pour toutx∈]−r, r[, alors on aan=bn quel que soit l’entiern . Démonstration En effet, en vertu du corollaire précédent, on a :an= f⁽ⁿ⁾(0)

n! = g⁽ⁿ⁾(0) n! =bn.

¤

(14)

Tous ces corollaires ne font qu’accroˆıtre l’analogie entre polynômes et séries entières, et rendent ces dernières d’autant plus faciles à manier. Pourtant, la proposition 8 n’a rien d’évident à priori, car le fait que f(x) =X

n>0

Pn(x) converge pour tout x∈]−r, r[ n’implique pas que l’on ait pour x∈]−r, r[ :

f⁰(x) =X

n>0

P_n⁰(x),

et ce, même lorsque les fonctions Pn sont des polynômes. En effet, choisissons pour toutn>0 : Pn(x) =x³(1−x²)ⁿ. Six∈]−1,1[r{0}, la série f(x) =X

n>0

Pn(x) est alors géométrique de raison q= 1−x²∈]0,1[, d’où : f(x) =x³/(1−q) =x³/x²=x.

De plus, on a ´evidemmentf(0) =X

n>0

0 = 0. Ainsi, pour toutx∈]−1,1[ : f(x) =X

n>0

Pn(x) =x.

N´eanmoins,P_n⁰(0) = 0 pour toutn∈N, car 0 est une racine triple dePn, et donc : f⁰(0) = 16= 0 =X

n>0

P_n⁰(0).

Démonstration de la proposition 8 Commen¸cons par établir que les séries entières X

n>0

anxⁿ et X

n>0

nanxⁿ⁻¹ont même rayon de convergence. SoitR celui de la série entièreX

n>0

anxⁿ,R⁰ celui de la s´erie enti`ere X

n>0

anxⁿ⁻¹,I l’ensemble des r>0 tels que la suite (anrⁿ)n>0 est bornée etI⁰ l’ensemble des r>0 tels que la suite (nanrⁿ⁻¹)n>0 est bornée. Rappelons que, par définition de R et deR⁰, on a :I= [0, R[ ouI= [0, R] et de même,I⁰= [0, R⁰[ ouI⁰= [0, R⁰].

On ne peut avoir R < R⁰, sinon pour un r´eel r ∈]R, R⁰[ quelconque, la suite (nanrⁿ⁻¹)n>0

serait born´ee et la suite (anrⁿ)n>0ne le serait pas, ce qui est absurde, puisque|anrⁿ|6r|nanrⁿ⁻¹|.

De même, si l’on avaitR⁰< R, on pourrait choisir deux réelsr, r⁰tels queR⁰< r⁰< r < R. La suite (anrⁿ)n>0serait bornée, mettons|anrⁿ|6Mpour toutn∈N, et l’on aurait lim

Maintenant fixonsr∈]0, R[. En appliquant la proposition 7 `a la s´erie P

n>1nanxⁿ⁻¹, on con- state que cette série est normalement convergente sur [−r, r]. On peut alors appliquer le théorème 4. Il nous dit que la fonctionf est dérivable sur [−r, r] et que l’égalité (3) a lieu sur cet intervalle.

En raison du caractère local de la dérivabilité, les mêmes propriétés ont lieu sur l’intervalle ]−R, R[.

¤

2.3 D´ eveloppements de fonctions en s´ eries enti` eres

Rappel Formule de Taylor-Lagrange en 0 :

Soit f une fonction n+ 1 fois d´erivable sur un intervalle I de Rtel que 0 ∈ I. Alors pour tout x∈I, il existeθ∈]0,1[ tel que :

f(x) =f(0) +f⁰(0)x+f⁰⁰(0)

2! x²+· · ·+f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ+f⁽ⁿ⁺¹⁾(θx) (n+ 1)! xⁿ⁺¹.

(15)

Des corollaires de la proposition 8, on déduit aussitôt que si f est la somme d’une série entière de rayon de convergence non nul :

– f est indéfiniment dérivable au voisinage de 0, – les coefficients de la série entièreX

n>0

anxⁿ def sont pr´ecis´ement les coefficients de la formule de Taylor def en 0 :

an= f⁽ⁿ⁾(0) n! .

Réciproquement, pour toute fonctionf indéfiniment dérivable au voisinage de 0, on peut toujours considérer la série entière : _+∞X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ.

Cependant, rien n’assure que cette série définisse bien f. Trois “pathologies” peuvent apparaˆıtre : 1. que cette série diverge pour toutx6= 0 ;

2. que cette s´erie converge, mais que l’on ait :f(x)6=

+∞X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ pour toutx6= 0 ; 3. que l’on n’aitf(x) =

+∞X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿque sur un intervalle strictement plus petit que l’ensemble de d´efinition def.

Les trois exemples suivants illustrent chacune de ces ´eventualit´es.

1) Considérons la série de fonctions de terme général e⁻ⁿsinn²x. On a d^k

dx^k(e⁻ⁿsinn²x) =e⁻ⁿn^2kuk(n²x),

o`uuk est la fonction±sin, sikest pair, la fonction±cos sikest impair ; d’o`u

|e⁻ⁿn^2kuk(n²x)|6e⁻ⁿn^2k. Or P

n>1e⁻ⁿn^2k est une s´erie convergente, puisque

n→+∞lim

e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾(n+ 1)^2k e⁻ⁿn^2k = 1

e <1.

La s´erie de fonctions X

n>1

d^k

dx^k(e⁻ⁿsinn²x)

est donc normalement convergente surR. Cela montre que la fonction f(x) =

X∞ n=1

e⁻ⁿsinn²x est définie et indéfiniment dérivable surR; on a en outre

f^(k)(x) = X∞ n=1

e⁻ⁿn^2kuk(x), ce qui donne

|f^(k)(0)|= X∞ n=1

e⁻ⁿn^2k, sik est impair,f^(k)(0) = 0 sinon.

(16)

Nous allons montrer que la s´erie de Taylor def en 0, `a savoir X∞

k=0

f^(k)(0)x^k k! ,

diverge pour tout x6= 0 ; cela revient à prouver que le rayon de convergence de cette série entière est nul, autrement dit, que pour toutr >0, la série

X∞ k=0

|f^(k)(0)|r^k k!

est divergente. Raisonnons par l’absurde : si cette s´erie convergeait, il existerait un nombreC >0 tel que

∀K∈N

2K+1X

k=0

|f^(k)(0)|r^k k! 6C; le premier membre de l’in´egalit´e ci-dessus est

XK

m=0

|f^(2m+1)(0)| r^2m+1 (2m+ 1)! =

XK

m=0

Ã_∞ X

n=1

e⁻ⁿn^2(2m+1)

! r^2m+1 (2m+ 1)!

= X∞ n=1

Ã _K X

m=0

e⁻ⁿn^2(2m+1) r^2m+1 (2m+ 1)!

!

; cela impliquerait, pour tous entiersK>0,N>1,

C>

XN n=1

Ã _K X

m=0

e⁻ⁿn^2(2m+1) r^2m+1 (2m+ 1)!

! .

Dans l’inégalité ci-dessus, laissonsN fixé et faisons tendreKvers l’infini : on obtient XN

n=0

e⁻ⁿsinhn²r6C ,

d’où la convergence de la série de terme générale⁻ⁿsinhn²r; mais c’est impossible, puisque e⁻ⁿsinhn²r∼ 1

2eⁿ²^r−n, qui tend vers l’infini avecn.

2) Soitf la fonction d´efinie par : f(x) = exp

µ

−1 x²

¶

(x6= 0), f(0) = 0.

Montrons, par r´ecurrence surn, que l’on a : f⁽ⁿ⁾(x) = 1

x³ⁿ exp µ

−1 x²

¶

Pn(x) (x6= 0), f⁽ⁿ⁾(0) = 0,

oùPn est un polynôme. Elle est vraie pourn= 0 (il suffit de prendreP0= 1). Supposons la vraie au rangn; on en déduit pour toutx6= 0 :

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = d dx

µ 1 x³ⁿexp

µ

− 1 x²

¶ Pn(x)

¶

= 1

x³ⁿ⁺³exp µ

− 1 x²

¶¡

(2−3nx²)Pn(x) +x³P_n⁰(x)¢ ,

(17)

or Pn+1(x) = (2−3nx²)Pn(x) +x³P_n⁰(x) est un polynˆome. Dans le cas o`u x= 0, on a : f⁽ⁿ⁺¹⁾(0) = lim

x→0

f⁽ⁿ⁾(x)−f⁽ⁿ⁾(0)

x−0 = lim

x→0

1 x³ⁿ⁺¹ exp

µ

−1 x²

¶

Pn(x) = 0 car :

x→0lim

¯¯

¯¯ 1 x³ⁿ⁺¹exp

µ

−1 x²

¶¯¯

¯¯= lim

t→+∞

t^(3n+1)/2 e^t = 0

La série entière associée àf est donc trivialement convergente, mais on a pour tout x6= 0 : f(x)6=

X∞

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ n! = 0.

3) La fonction f(x) = 1

1 +x est définie sur ]−1,+∞[, mais l’égalitéf(x) = X∞ n=0

(−1)ⁿxⁿ (cf plus bas) n’est pas v´erifi´ee pourx >1.

Concluons par les développements en séries entières de quelques fonctions usuelles (le rayon de convergenceRest précisé après chaque formule)qu’il faut absolument connaˆıtre ou savoir retrouver rapidement :

e^x= 1 +x+x² 2! +x³

3! +· · ·=

+∞X

n=0

xⁿ

n! (R= +∞) cosx= 1−x²

2! +x⁴ 4! −x⁶

6! +· · ·= X+∞

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! (R= +∞) sinx=x−x³

3! +x⁵ 5! −x⁷

7! +· · ·= X+∞

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! (R= +∞) chx= e^x+e^−x

2 = 1 + x² 2! +x⁴

4! +x⁶

6! +· · ·=

+∞X

n=0

x²ⁿ

(2n)! (R= +∞) shx=e^x−e^−x

2 =x+x³ 3! +x⁵

5! +x⁷

7! +· · ·= X+∞

n=0

x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! (R= +∞) Formule du binôme généralisée :

(1 +x)^α= 1 +αx+α(α−1)x²

2! +α(α−1)(α−2)x³

3! +· · ·= 1 + X+∞

n=1

α(α−1)· · ·(α−n+ 1)xⁿ n!

(R= 1 si α∈R r N, R= +∞ si α∈N)

ln(1 +x) =x−x² 2 +x³

3 −x⁴

4 +· · ·=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n (R= 1) Arctgx=x−x³

3 +x⁵ 5 −x⁷

7 +· · ·= X+∞

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

2n+ 1 (R= 1) argthx=x+x³

3 +x⁵ 5 +x⁷

7 +· · ·= X+∞

n=0

x²ⁿ⁺¹

2n+ 1 (R= 1) Arcsinx=x+ 1

2 ·x³ 3 +1

2· 3 4· x⁵

5 +· · ·=x+

+∞X

n=1

1 2 ·3

4· · ·2n−1

2n · x²ⁿ⁺¹

2n+ 1 (R= 1) argshx=x−1

2·x³ 3 +1

2 ·3 4 ·x⁵

5 − · · ·=x+

+∞X

n=1

(−1)ⁿ1 2 ·3

4· · ·2n−1

2n · x²ⁿ⁺¹

2n+ 1 (R= 1)

(18)

Les développements dee^x, cosx, sinx, chxet shxs’obtiennent facilement à partir de la formule de Taylor, car leurs dérivées successives se répètent périodiquement. Par exemple, pourf(x) = chx, on a :f⁽²ⁿ⁾(x) = chx,f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x) = shx, d’où :f⁽²ⁿ⁾(0) = 1,f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) = 0. La formule de Taylor

`a l’ordre 2N s’´ecrit donc : chx=

XN n=0

x²ⁿ

(2n)!+ shθx

(2N+ 1)!x^2N+1 (θ∈]0,1[).

On en d´eduit : ¯

¯¯

¯¯ XN n=0

x²ⁿ

(2n)! − chx

¯¯

¯6|shx| |x|^2N+1 (2N+ 1)!;

le second membre de l’inégalité ci-dessus tend vers 0 quand N tend vers l’infini ; cela établit la convergence de la série du membre gauche et le fait que sa limite est bien chx.

En rempla¸cant éventuellement, dans la formule du binôme généralisée, la variablexpar±x², celle-ci donne les développements en séries entières des fonctions suivantes :

1

1 +x, 1

1 +x², 1

1−x², 1

√1−x², 1

√1 +x².

Tous ces développements ont 1 comme rayon de convergence. En les intégrant à l’aide du Corol- laire 1, on obtient les développements respectifs des fonctions :

ln(1 +x), Arctgx, argthx, Arcsinx, argshx.

Enfin, les coefficients de la formule du binôme généralisée sont faciles à retrouver, puisque les dérivées successives de f(x) = (1 +x)^α sont bien f⁽ⁿ⁾(x) = α(α−1)· · ·(α−n+ 1)(1 +x)^α−n, d’où :

f⁽ⁿ⁾(0)

n! = α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! ·

Par ailleurs, lorsqueα∈N, il s’agit bien des coefficients binˆomiaux Cⁿ_α=α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! ·

En revanche, la validité de cette formule ne se démontre pas facilement à partir de la formule de Taylor :

(1 +x)^α= 1 + XN n=1

α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ+R_N(x)

car il est difficile d’´etablir que son reste R_N(x) = α(α−1)· · ·(α−N)(1 +θx)^N+1

(N+ 1)! (dans lequel θ∈]0,1[ , rappelons-le, d´epend deN) tend bien vers 0 quandN →+∞.

Il est bien plus commode d’établir cette formule du binôme généralisée en remarquant que y(x) = (1 +x)^α est l’unique solution sur ]−1,1[ de l’équation différentielle :

(1 +x)y⁰(x) =αy(x) (5)

pour la condition initialey(0) = 1, puis en cherchant une telle solution sous la formeP

n>0anxⁿ. En effet, si y est une solution de (5) sur l’intervalle ]−1,1[ telle quey(0) = 1, alors la fonctionf d´efinie sur ]−1,1[ parf(x) =y(x)(1 +x)^−α v´erifie pour toutx∈]−1,1[ :

f⁰(x) =y⁰(x)(1 +x)^−α−y(x)α(1 +x)^−α−1= (1 +x)^−α−1[(1 +x)y⁰(x)−αy(x)] = 0.

Ainsi,f est constante sur ]−1,1[ et cette constante vautf(0) =y(0)(1 + 0)^−α= 1, d’o`u pour tout x∈]−1,1[ :y(x) =f(x)(1 +x)^α= (1 +x)^α.