année2008-2009 SÉRIESNUMÉRIQUES MI3AlgèbreetanalysefondamentalesICHAPITREI

(1)

UNIVERSIT´ E PARIS 7 D E N I S D I D E R O T

MI3

Alg` ebre et analyse fondamentales I

CHAPITRE I

S´ ERIES NUM´ ERIQUES

ann´ ee 2008-2009

Auteur : Thierry Joly

D´ epartement de Formation

de 1

^er

Cycle de Sciences Exactes

(2)

(3)

CHAPITRE I MI3 – Ann´ ee 2008/09

S´ ERIES NUM´ ERIQUES

Plan du chapitre :

1 Compl´ ements et rappels sur les suites num´ eriques

1.1 Limites de suites complexes 1.2 Limites de suites r´eelles

2 G´ en´ eralit´ es sur les s´ eries num´ eriques 3 S´ eries ` a termes positifs

3.1 Détermination de la nature d’une série par comparaison 3.2 Critères de d’Alembert et de Cauchy

3.3 Comparaison d’une série à une intégrale impropre

4 S´ eries absolument convergentes

5 Exemples et contre-exemples

(4)

CHAPITRE I MI3

S´ ERIES NUM´ ERIQUES

1 Compl´ ements et rappels sur les suites num´ eriques

1.1 Limites de suites complexes

Commen¸cons par rappeler la d´efinition formelle de suite num´erique (complexe).

Définition Une suite complexe est une application de{n∈N ; n>n0} dans C, où n0 est un entier quelconque. La valeur de cette application pour un argument n est alors notéeun (plutôt queu(n)) et appeléeterme d’indicen; cette application est elle-même notée (un)n>n0.

Dire qu’une suite (un)n>n0 a pour limite l ∈C signifie que seul un nombre fini de ses termes rate une cible circulaire quelconque centr´ee enl, aussi petite soit-elle :

O x

y

l

u0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

. . .bien sˆur, plus la cible sera choisie petite, plus de termesunla rateront, mais toujours un nombre fini d’entre eux !

Exprimons cette définition en termes plus mathématiques. Dire qu’un termeun rate une cible de rayonε >0 centrée enlsignifie que la distance|un−l|entreunetldans le diagramme d’Argand (ci-dessus) dépasseε : |un−l|> ε. Dire que les termesun ratant une telle cible sont en nombre fini revient à dire que leurs indices se trouvent contenus dans un ensemble fini {0,1,2, . . . , k−1}, autrement dit que pour un certaink ∈N, tous les termes un d’indicesn>katteignent la cible, i.e.|un−l|6ε. Ainsi, la définition ci-dessus peut s’énoncer de la fa¸con suivante : Pour toutε >0, il existe un rangk∈Nà partir duquel tous les termesun vérifient : |un−l|6ε.

D´efinition On dit quel∈Cest limite d’une suite complexe (un)n>n0 lorsque :

∀ε >0 ∃k∈N ∀n>k |un−l|6ε.

Les suites poss´edant une limitel∈Csont ditesconvergentes et les autresdivergentes.

(5)

Proposition 1 (Unicit´e de la limite) Toute suite complexe poss`ede au plus une limite.

Démonstration Supposons qu’une suite complexe (un)n>n0 possède deux limites l 6= l⁰. En choisissantε=|l−l⁰|/3>0 dans la définition de limite, il s’ensuit que tous les termesunà partir d’un certain rang k1 vérifient|un−l|6|l−l⁰|/3 et que tous les termes un à partir d’un certain rang k2 vérifient |un−l⁰| 6|l−l⁰|/3. Le terme uk, où k = max(k1, k2), vérifie alors alors à la fois|un−l|6|l−l⁰|/3 et|un−l⁰|6|l−l⁰|/3. Cela signifie, en termes imagés, queuk atteint les deux cibles de rayon|l−l⁰|/3 centrées enl et l⁰ ; or ceci est impossible, car ces deux cibles sont disjointes :

ε

ε ε

l

l⁰ y ε= ^|l−l₃⁰^| >0

O x

L’application de l’inégalité triangulaire suivante (†) entraˆıne d’ailleurs l’absurdité recherchée :

|l−l⁰| = |(l−u_k) + (u_k−l⁰)|^(†)6|l−u_k|+|u_k−l⁰| 6 |l−l⁰|

3 +|l−l⁰|

3 = 2

3|l−l⁰|.

¤ Puisqu’une suite (un)n>n0 ne peut avoir qu’une seule limite, on peut sans ambigu¨ıt´e noter cette derni`ere :

n→+∞lim un.

Attention, cette notationn’a aucun sens lorsque la suite (un)n>n0 est divergente.

La mise en œuvre de la définition de limite est plutôt pénible, notamment à cause de la série de quantificateurs∀ε >0∃n∈N∀k>n . . . qui la débute. Cette triste réalité est d’ailleurs illustrée par les démonstrations des propositions ci-dessous. Heureusement, ces mêmes propositions permettent dans la plupart des cas courants d’éviter une utilisation directe de cette définition.

Proposition 2 Si lim

n→+∞un=l∈Cet lim

n→+∞vn=l⁰ ∈C, alors pour toutc∈C: (i) lim

n→+∞cun=cl, (ii) lim

n→+∞(un+vn) =l+l⁰, (iii) lim

n→+∞unvn=ll⁰.

Démonstration (i). Pour tout ε > 0, il existe un réel ε⁰ > 0 tel que |c|.ε⁰ 6 ε (par exemple, ε/|c| sic6= 0, et n’importe quel réel strictement positif sic= 0) ; selon l’hypothèse lim

n→+∞un=l, il existe donc un rangkà partir duquel les termes u_n vérifient : |u_n−l|6ε⁰, d’où :

n>k ⇒ |cun−cl|=|c|.|un−l|6|c|.ε⁰ 6ε.

En r´esum´e, pour toutε >0, il existe bien un entierktel que pour toutn>k : |cun−cl|6ε.

(ii). Soitε >0 quelconque. Les hypoth`eses lim

n→+∞un=l et lim

n→+∞vn=l⁰ entraˆınent l’existence d’un rang k1 à partir duquel les termes un vérifient |un−l|6 ε/2 et l’existence d’un rang k2 à

(6)

partir duquel les termesvn v´erifient|vn−l⁰|6ε/2. En posantk= max(k1, k2), on obtient donc : n>k ⇒

· |un−l|6ε/2

|vn−l⁰|6ε/2 ⇒ |(un+vu)−(l+l⁰)|=|(un−l) + (vn−l⁰)|6|un−l|+|vn−l⁰|6ε.

(iii). Par hypothèse, il existe un rangk0à partir duquel les termesun vérifient|un−l|61 et donc

|un|=|(un−l) +l|6|un−l|+|l|61 +|l|. Par ailleurs, pour toutε >0, il existe un rang kε à partir duquel les termesvn vérifient|vn−l⁰|6ε/(1 +|l|), d’où pour toutn>max(k0, kε) :

|un(vu−l⁰)−0|=|un|.|vn−l⁰|6(1 +|l|)· ε 1 +|l| =ε.

Cela ´etablit :

n→+∞lim un(vu−l⁰) = 0.

On a de plus par l’hypoth`ese lim

n→+∞un=l et (i) :

n→+∞lim unl⁰ =ll⁰, d’o`u par (ii) :

n→+∞lim unvu= lim

n→+∞

¡un(vu−l⁰) +unl⁰¢

= 0 +ll⁰=ll⁰.

¤ Remarque Chaque énoncé de cette proposition 2 en contient deux, le premier affirmant la convergence d’une suite et le second précisant la valeur de sa limite. Ainsi, ces énoncés (i)-(iii) expriment d’abord que la limite des suites c.(un)n>n₀déf

= (cun)n>n₀, (un)n>n₀+ (vn)n>n₀d´ef

= (un+vn)n>n₀, . . . existe, avant d’en préciser la valeur. En particulier, les énoncés (i) et (ii) expriment que l’ensemble En0 des suites convergentes (un)n>n0, muni de l’addition terme à terme et de la multiplication par un complexe,est unC-espace vectoriel, puis que l’application lim : En0→Cestlinéaire.

Rappelons qu’une fonctionf, d´efinie au moins sur{z∈C ; |z−z0|< r}pour un certainr >0, est ditecontinue enz0 lorsque :

∀ε >0 ∃η >0 ∀z∈C ³

|z−z0|< η ⇒ |f(z)−f(z0)|6ε´ .

Proposition 3 Si lim

n→+∞un =l∈C, alors pour toute fonctionf d´efinie sur{z∈C ; |z−z0|< r}

(r >0) et continue enl :

n→+∞lim f(un) =f(l).

Démonstration Par définition de la continuité def enl, pour toutε >0, il existe un réelη >0 tel que : |z−l|< η ⇒ |f(z)−f(l)| 6ε, et par l’hypothèse lim

n→+∞un =l, il existe un rang k à partir duquel les termesun vérifient : |un−l|6η, d’où :

n>k ⇒ |un−l|6η ⇒ |f(un)−f(l)|6ε.

¤ L’intérêt de cette dernière proposition réside dans le fait que les fonctions les plus usuelles (cos, sin, exp, . . .) sont habituellement continues en tout point de leur domaine de définition naturel.

Par exemple, la fonction z7→1/z est d´efinie et continue en toutz06= 0 et la fonction z7→ |z| est d´efinie et continue en toutz0∈C; il s’ensuit donc :

Corollaire 4 Si lim

n→+∞un=l∈C, alors :

(i) l6= 0 ⇒ lim

n→+∞(1/un) = 1/l, (ii) lim

n→+∞|un|=|l|.

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1.2 Limites de suites r´ eelles

Les suites réelles (i.e. dont tous les termes sont réels) ne sont jamais que des suites complexes particulières et tout ce qui a été dit précédemment les concernent évidemment. Remarquons seulement que leurs limites éventuelles sont nécessairement réelles :

Proposition 5 Si une suite r´eelle (un)n>n0 a une limitel, alors l∈R

Démonstration En effet, posons alors l=a+ib(a, b∈R). Pour toutε > 0, il existe un rang k à partir duquel les termesun vérifient|un−l|6ε, donc : |b|6p

(uk−a)²+b² =|uk−l|6ε.

Ainsi, on a|b|6εpour toutε >0, d’o`ub= 0.

¤ Bien sûr, il s’ensuit que pour une suite réelle (un)n>n0 ayant une limitel, l’expression|un−l|dans la définition :

∀ε >0 ∃k∈N ∀n>k |un−l|6ε d´esigne simplement la valeur absolue deun−l.

L’objet véritable de cette section sur les limites de suites réelles est de rappeler des notions et des faits qui mettent en jeu l’ordre naturel des réels et qui sont donc vides de sens pour les suites complexes. Par exemple, du fait qu’une suite réelle (un)n>n0 est formellement une application de {n∈N; n>n0} dansR, on peut lui appliquer tout le vocabulaire usuel des fonctions réelles : Définition On dit qu’une suiteréelle (un)n>n0 est

– majorée parM∈R lorsque : ∀n>n0 un6M, – minorée parm∈R lorsque : ∀n>n0 un>m, – croissantelorsque : ∀n>n0 un+1−un>0, – décroissante lorsque : ∀n>n0 un+1−un60, – monotonelorsqu’elle est croissante ou décroissante, – strictement croissante lorsque : ∀n>n0 un+1−un>0, – strictement décroissantelorsque : ∀n>n0 un+1−un<0,

– strictement monotone lorsqu’elle est strictement croissante ou strictement d´ecroissante.

D’autres définitions spécifiques aux suites réelles sont les suivantes :

Définition •On dit que qu’une suite réelle (un)n>n0diverge vers+∞et l’on écrit lim

n→+∞un = +∞, lorsque :

∀M∈R ∃k∈N ∀n>k un>M.

• On dit que qu’une suite r´eelle (un)n>n0diverge vers−∞et l’on ´ecrit lim

n→+∞un=−∞, lorsque :

n→+∞lim (−un) = +∞.

A l’instar de la d´efinition de limite d’une suite complexe, on peut exprimer lim`

n→+∞un= +∞

de la fa¸con suivante : Pour tout M ∈R, seul un nombre fini de termes un sont inférieurs à M. De même, lim

n→+∞un=−∞ signifie que pour toutM∈R, seul un nombre fini de termes un sont sup´erieurs `a M.

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La proposition suivante établit un lien entre ces nouvelles définitions et celle de limite finie : Proposition 6 •Pour toute suite réelle(un)n>n₀dont les termes sont strictement positifsà partir d’un certain rang :

n→+∞lim un= +∞ ⇐⇒ lim

n→+∞1/un = 0.

• Pour toute suite réelle (un)n>n0dont les termes sont strictement négatifs à partir d’un certain rang :

n→+∞lim un=−∞ ⇐⇒ lim

n→+∞1/un = 0.

Nous ne rappellerons pas ici la liste exhaustive des r`egles de calculs invoquant des limites infinies, telles que :

n→+∞lim un=a∈]−∞,0[ et lim

n→+∞vn = +∞ =⇒ lim

n→+∞unvn=−∞.

Comme toutes ces r`egles se retrouvent facilement par l’intuition (par exemple : “1 +∞= +∞”,

“(−2).(+∞) =−∞”, . . .), il est surtout utile — et même tout à fait indispensable — de se souvenir des “cas d’indétermination”, i.e. des situations non tranchées par une règle :

∞ − ∞, 0.∞, ∞

∞, 0

0, ∞⁰, 0⁰, 1^∞.

Rappelons plutôt que l’ordre des réels permet d’obtenir la limite d’une suite réelle (vn)n>n⁰₀

par encadrement rapproch´e ou pourchasse `a l’infini :

Théorème 7 (dit “des gendarmes”)Pour toutes suites réelles (un)n>n0,(vn)_n>n⁰₀,(wn)_n>n⁰⁰₀: (i) ∀n>k un6vn6wn et lim

n→+∞un= lim

n→+∞wn =l∈R =⇒ lim

n→+∞vn=l (ii) ∀n>k un6vn et lim

n→+∞un= +∞ =⇒ lim

n→+∞vn= +∞

(iii) ∀n>k un>vn et lim

n→+∞un=−∞ =⇒ lim

n→+∞vn=−∞

Ce théorème permet souvent de conclure là où toutes les règles évoquées plus haut échouent : Exemple Déterminons lim

n→+∞n+ (−1)ⁿ.

Il est vain d’invoquer ici une quelconque r`egle sur la limite d’une somme, car lim

n→+∞(−1)ⁿ n’existe pas. En revanche, on conclut facilement à l’aide du théorème 7 (ii) :

Pour toutn∈N,n+ (−1)ⁿ>n−1, or lim

n→+∞n−1 = +∞, donc lim

n→+∞n+ (−1)ⁿ= +∞.

Concluons ces rappels sur les limites de suites par un autre théorème à caractère policier.

Théorème 8 Pour toute suite réelle croissante (un)n>n0 :

(un)n>n0 est major´ee ⇐⇒ (un)n>n0 est convergente.

Ce dernier énoncé a quelque chose de remarquable : de tous ceux rappelés ici, c’est le seul à

établir la convergence d’une suite sans en préciser la limite. Contrairement aux précédents, sa démontration engage une définition précise des réels et s’avère de ce fait particulièrement délicate.

(9)

2 G´ en´ eralit´ es sur les s´ eries num´ eriques

Pour toute suite numérique (an)n>n0, on appellesérie de terme généralan la suite (sn)n>n0 (que l’on noteraP

n an dans ce cours) d´efinie par :

sk=an0+an0+1+· · ·+ak= Xk n=n0

an.

Une série n’est donc pas un objet mathématique nouveau, mais seulement une suite exprimée d’une fa¸con particulière. En effet, toute suite (sn)n>n0 peut être présentée sous la forme d’une sérieP

n an

en posant : an0=sn0 et pour toutn > n0 : an =sn−sn−1.

L’intérêt des séries réside dans le pouvoir expressif et la souplesse d’utilisation de la notationP des sommes. Encore faut-il apprivoiser a minima cette notation. Il s’agit par exemple, de rendre tout à fait familières des transformations d’usage courant telles que :

Xq n=p

(an+bn) = Xq n=p

an+ Xq n=p

bn, c Xq n=p

an= Xq n=p

can,

Xq n=p

an+1=

q+1X

n=p+1

an,

et qui résultent des propriétés les plus élémentaires de l’addition et de la multiplication, puisque la première est une conséquence de l’associativité et de la commutativité de l’addition, la seconde ne fait qu’exprimer la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la troisième découle immédiatement du sens des notations. Reconnaissons que ces relations sont tout de même plus faciles à justifier que leur analogue concernant les intégrales :

Z _q

p

(f(t) +g(t))dt= Z _q

p

f(t)dt+ Z _q

p

g(t)dt, c Z _q

p

f(t)dt= Z _q

p

cf(t)dt, Z _q

p

f(t+ 1)dt= Z _q+1

p+1

f(t)dt.

La limite d’une série de terme générala_n (n>n₀), i.e. lim

k→+∞

Xk n=n0

a_n, est simplement not´ee : X+∞

n=n0

an ou encore X

n>n0

an.

C’est ces toutes dernières notations qui confèrent aux séries leur grand pouvoir expressif. Par exemple, personne ne sait exprimer la limitel ∈Rde la série de terme général 1/n³ (n>1) plus simplement que comme la limite de cette série précisément (on ne connaˆıt aucune expression del

à l’aide deπ, e,+,−,√ , . . .). La dernière notation permet d’écrire, sans avoir à faire de définition annexe :

l=X

n>1

1 n³.

Les séries permettent donc d’exprimer synthétiquement des nombres que l’on ne saurait désigner autrement.

Le vocabulaire des séries présente une légère difficulté. Le “terme généralan” d’une sérieP

n an

n’est pas le terme général de cette dernière en tant que suite (sn)n>n0. En effet, l’expression

“terme général de la suite (sn)n>n0” désigne directement sn, autrement dit la somme P_n

k=n0ak. Par ailleurs, on nomme indifféremment “série” la suite (s_n)_n>n₀ et sa limite. Cet abus de langage courant ne porte pas à conséquence, car le contexte permet toujours de savoir de quoi l’on parle.

Ainsi, dans l’énoncé : “la série converge et vaut 2”, il est clair que c’est la suite qui converge et sa limite qui vaut 2. De même, la notationP

n>n0an est indistinctement employée pour désigner la suite et sa limite. Toutefois, nous ne suivrons ce dernier usage dans ce chapitre, où l’on notera systématiquementP

n an la suite etP

n>n0an sa limite.

(10)

Les séries recèlent aussi un piège constant — autrement plus sérieux que ces problèmes termi- nologiques — qu’on va illustrer à travers un exemple. Comme nous n’avons pas encore débuté leur

´etude, nous allons allons adopter (dans cet exemple seulement) une notation na¨ıve de leurs limites : X

n>1

a_n=a₁+a₂+a₃+a₄+· · ·+a_n+· · · Exemple D´eterminons la valeur pr´ecise de l= 1−1

2+1 3−1

4 +· · ·+ 1

2n−1 − 1 2n+· · · En changeant en + les signes−des termes− 1

2n, on rajoute deux fois chacun de ces termes, donc : l=

µ 1 + 1

2+1 3 +1

4 +· · ·+1 n+· · ·

¶

−2 µ1

2+1 4 +1

6+1

8+· · ·+ 1 2n+· · ·

¶

= µ

1 + 1 2+1

3 +1

4 +· · ·+1 n+· · ·

¶

− µ2

2 +2 4+2

6 +2

8 +· · ·+ 2 2n+· · ·

¶

= µ

1 + 1 2+1

3 +1

4 +· · ·+1 n+· · ·

¶

− µ

1 +1 2 +1

3 +1

4+· · ·+ 1 n+· · ·

¶

= 0.

Pourtant, on regroupant deux `a deux les termes initiaux, on voit bien que chaque paire de termes ainsi form´ee est positive, donc :

l= µ

1−1 2

¶ +

µ1 3 −1

4

¶

+· · ·+ µ 1

2n−1 − 1 2n

¶

+· · ·>

µ 1−1

2

¶

+ 0 +· · ·+ 0 +· · ·= 1 2· Ainsi, on obtient 0>1

2. O`u est l’erreur ? Comme on le verra plus tard, la s´erie P

n (−1)ⁿ⁺¹/n converge bien, autrement dit l est un réel bien défini. Par ailleurs, la minoration l >1/2 effec- tuée ci-dessus est parfaitement correcte, donc l 6= 0. Dans le calcul de l plus haut, notre seule erreur a été d’utiliser la série P

n 1/n, appelée série harmonique, sans s’assurer qu’elle soit bien convergente. Puisque nous n’avons pas commis d’autre erreur, notre raisonnement menant à la relation 0>1

2 est en fait une d´emonstration par l’absurde que la s´erie harmonique diverge. On peut aussi s’en persuader directement, en regroupant ses 2ⁿ premiers termes par paquets successifs de 1,1,2,4, . . . ,2^k, . . . ,2ⁿ⁻¹ termes :

s₂n= 1 + µ1

2

¶

| {z }

1 terme

+ µ1

3+1 4

¶

| {z }

2 termes

+ µ1

5+1 6+1

7 +1 8

¶

| {z }

4 termes

+· · ·+ µ 1

2ⁿ⁻¹+1+ 1

2ⁿ⁻¹+2+· · ·+ 1 2ⁿ

¶

| {z }

2ⁿ⁻¹termes

>1 + µ1

2

¶

| {z }

1 terme

+ µ1

4 +1 4

¶

| {z }

2 termes

+ µ1

8 +1 8+1

8 +1 8

¶

| {z }

4 termes

+· · ·+ µ 1

2ⁿ + 1

2ⁿ + · · · + 1 2ⁿ

¶

| {z }

2ⁿ⁻¹termes

= 1 + µ1

2+2 4 +4

8 +· · ·+2ⁿ⁻¹ 2ⁿ

¶

| {z }

ntermes

= 1 + µ1

2 +1 2+1

2 +· · ·+1 2

¶

| {z }

ntermes

= 1 +n 2·

Ainsi, la somme sk=X

n6k

1

n de ses kpremiers termes finit par d´epasser n’importe quel r´eel, i.e. :

k→+∞lim X

n6k

1

n = +∞.

La série harmonique diverge donc, bien que son terme général tende vers 0 :

n→+∞lim 1 n = 0.

La morale à tirer de cet exemple est que, dans un calcul numérique mentionnant des séries, il faut s’assurer de la convergence de chacune de ces séries, sans quoi le calcul perd tout sens et peut mener à n’importe quel résultat.

(11)

Or la question de savoir si une série donnée converge ou non — on dit “déterminerla nature de la série” — est généralement délicate. Le reste de ce chapitre est d’ailleurs consacré à cette question et, pour plus de clarté, on adopte les abbréviations suivantes :

P

n an CV ⇐⇒^d´êf la série de terme généralan converge P

n an DV ⇐⇒^d´êf la série de terme généralan diverge.

Proposition 9

(i). Si les suites(an) et (bn) vérifient an =bn à partir d’un certain rangk, alors les séries de termes générauxan etbn sont de même nature :

“La nature d’une s´erie ne d´epend pas de ses premiers termes.”

(ii). P

n an CV ⇒ lim

n→+∞an= 0. (Attention : lim

n→+∞an = 0 ; P

n an CV, cf exemple plus haut.) (iii). P

n an CV ⇒ lim

n→+∞

P

i>nai= 0 : “Le reste d’une s´erie convergente tend vers 0.”

(iv). SiP

n an CVetP

n bn CV, alors P

n (an+bn) CV et l’on a : P

n>n0(an+bn) =³P

n>n0an

´ +³P

n>n0bn

´ . (v). SiP

n an CV, alors pour tout nombreλ,P

n λan CV et l’on a : P

n>n0λan =λ³P

n>n0an

´ . (Attention : P

n an CVetP

n bn CV ; P

n anbn CV.) D´emonstration (i). Consid´erons les sommes partielles :

sn =X

i6n

ai, tn =X

i6n

bi, ainsi que les constantes :

u =X

i<k

ai, v =X

i<k

bi.

Par hypoth`ese, on a pour tout n>k: sn−u =

Xn i=k

ai = Xn i=k

bi = tn−v,

de sorte que les suites (sn) et (tn) convergent toutes deux ou divergent toutes deux.

(ii). On a : an=sn−sn−1 ; si lim

n→+∞sn=s, on a aussi lim

n→+∞sn−1=s, d’o`u :

n→+∞lim an= lim

n→+∞sn− lim

n→+∞sn−1=s−s= 0.

(iii). Par d´efinition de la somme d’une s´erie convergente, on a : X

i>n

ai =

+∞X

i=n+1

ai= lim

m→+∞

Xm i=n+1

ai= lim

m→+∞(sm−sn) =s−sn, d’o`u :

n→+∞lim X

i>n

a_i = s− lim

n→+∞s_n= 0.

(12)

Les propriétés (iv) et (v) sont des conséquences immédiates des relations algébriques : X

i6n

(ai+bi) =X

i6n

ai+X

i6n

bi, X

i6n

λai=λX

i6n

ai,

et des ´enonc´es (i) et (ii) de la proposition 2.

¤ Remarques • La propriété (ii) fournit un test de base pour la nature d’une sérieP

n an : Sian ne tend pas vers 0, alorsP

n an diverge `a coup sˆur !

• Si lanatured’une série ne dépend pas de ses premiers termes (voir la propriété (i)), lavaleur de sa somme— quand elle est convergente — dépend essentiellement de ses premiers termes ; on a

en effet : _+∞X

i=0

ai= Xn i=0

ai+ Reste

et, d’après la propriété (iii), le reste tend vers 0 : la somme totale est donc voisine de la somme partielle desnpremiers termes pour nsuffisamment grand.

Exemple fondamental : La série géométrique de raisonq∈C X

n

qⁿ La somme partiellesn= 1 +q+· · ·+qⁿ est ´egale `a :

• qⁿ⁺¹−1

q−1 pour q6= 1,

• n+ 1 pour q= 1,

ce qui conduit `a la discussion suivante :

• Si|q|<1, P

n qⁿ CV et on a : X

n>0

qⁿ = 1 1−q·

• Si|q|>1, P

n qⁿ DV.

3 S´ eries ` a termes positifs

Comme la d´etermination de la nature d’une s´erie P

n a_n est un problème épineux, commen¸cons par étudier un cas restreint : celui où tous termes an sont des réels positifs. La section suivante (4 Séries absolument convergentes) nous permettra d’en déduire la convergence de séries de terme généralan∈Cquelconque.

3.1 D´ etermination de la nature d’une s´ erie par comparaison

Proposition 10 Soit (an) une suite de réels positifs. Pour que la série de terme général an

converge, il faut et il suffit qu’il existe un r´eelM tel que pour tout entiern, on ait : X

i6n

ai6M.

D´emonstration Lesan´etant des nombres positifs, la suite (sn) des sommes partiellessn=X

i6n

ai

est croissante. Cette proposition n’est donc qu’une répétition du théorème 8.

¤

(13)

Rappel L’énoncé “an∼bn quand n→+∞” signifie très exactement :

n→+∞lim an

bn = 1 (et non : an est à peu près égal àbn).

Proposition 11 Crit`eres de comparaison. Soit(an)et(bn)deux suites de nombres positifs.

(i). ∀n>k an6bn et P

n bn CV ⇒ P

n an CV.

(ii). ∀n>k an>bn et P

n bn DV ⇒ P

n an DV.

(iii). Si l’on a : an ∼bn quand n→+∞, alors les séries de termes généraux an et bn sont de même nature.

D´emonstration (i). On a alors pour toutn>k : X

i6n

ai = X

i<k

ai+ Xn i=k

ai 6 X

i<k

ai+ Xn i=k

bi 6 X

i<k

ai+

+∞X

i=k

bi = M o`uM ∈Rne d´epend pas de n, donc la proposition 10 entraˆıne : P

n an CV.

(ii). Comme∀n>k bn6an, siP

n an convergeait on aurait d’apr`es (i) : P

n bnCV, ce qui contredit la deuxi`eme hypoth`ese.

(iii). L’hypoth`esean ∼bnentraˆıne l’existence d’un rangktel que pour toutn>k: |an/bn−1|<1, d’o`u an/bn−1<1 et donc an 62bn. SiP

n bn CV, alorsP

n 2bn CV d’apr`es la proposition 9 (v) et l’assertion (i) entraˆıneP

n an CV. Comme l’hypothèse an ∼bn équivaut à bn ∼an, on établit de la même fa¸con en inversant les rôles de (an) et (bn) : P

n an CV ⇒ P

n bn CV.

¤ Exemples • D´eterminons la nature de la s´erieP

n an de terme g´en´eralan= 1 n+√

n,n>1.

Afin de se ramener à la série harmonique, que l’on connaˆıt bien, on est tenté par la majoration : 1

n+√ n 6 1

n· Malheureusement, (i) ne nous permet pas d’en d´eduire que P

n an converge, car P

n 1/n diverge ; (ii) ne nous permet pas non plus de conclure, car l’in´egalit´e ci-dessus est dans le mauvais sens.

C’est là tout le problème de déterminer la nature d’une série par (i) ou (ii) : si l’on majore son terme général, c’est que l’on parie sur sa convergence, car seul (i) reste alors utilisable ; de même, minorer son terme général revient à parier sur sa divergence. Il s’agit donc de faire le bon choix.

En revanche, (iii) permet de simplifier la question — sans prendre parti sur la nature deP

n an — en la ramenant `a la nature d’une s´erie plus simpleP

n bn. Ainsi, commen+√

n∼n, on aan∼1/n, de sorte que P

n an est de mˆeme nature queP

n 1/n, autrement dit divergente.

On peut aussi ´etablir ce fait `a l’aide de (ii) comme suit : Pour toutn>1, on an+√

n62n, donc an> 1

2n· De plusP

n 1/2nDV, sinonP

n 1/nconvergerait par la proposition 9 (v), doncP

n a_n DV.

• D´eterminons la nature de la s´erieP

n bn de terme g´en´eralbn= 2 + (−1)ⁿ

n ,n>1.

Dans ce cas, il est vain d’essayer de ramener bn `a un terme cn ∼bn plus simple, et seul (ii) nous permet de conclure : on abn>1/n pour toutn>1 etP

n 1/nDV, doncP

n bn DV.

(14)

3.2 Crit` eres de d’Alembert et de Cauchy

Théorème 12 (critère de d’Alembert) Soit (an) une suite de réels positifs. Supposons que ces réels an soient tous non nuls à partir d’un certain rang et que la suite

an+1

a_n

ait une limite λ∈ [0,+∞] quandntend vers l’infini. Alors :

• λ <1 ⇒ P

n an CV,

• λ >1 ⇒ P

n an DV.

Démonstration Supposons λ < 1 et fixons arbitrairement un réel r∈]λ,1[ . En choisissant ε=r−λ >0 dans la définition de lim

n→+∞

an+1

an

=λ, on obtient un entierk tel que :

∀n>k

¯¯

¯¯an+1

an −λ

¯¯

¯¯6r−λ, et donc ∀n>k an+1

an −λ 6 r−λ, soit encore :

∀n>k an+1

an 6r.

Multiplions les n−kinégalités obtenues en rempla¸cant dans cette dernière nsuccessivement par k, k+ 1, k+ 2, . . . , n−1 ; on obtient :

µak+1

ak

¶ µak+2

ak+1

¶

· · · µ an

an−1

¶

6r^n−k,

soit, apr`es simplification :

an

ak 6r^n−k. Ainsi, on a :

∀n>k an 6a_k r^k ·rⁿ ;

comme le second membre est le terme général d’une série géométrique de raison r∈]λ,1[ , et par conséquent convergente, la proposition 11 (i) permet de conclure à la convergence deP

n an. Le casλ >1 se traite de fa¸con analogue. En réécrivant l’hypothèse lim

n→+∞

a_n+1

an =λ∈]1,+∞] sous la forme :

n→+∞lim a_n

an+1 =λ⁰∈ [0,1[

et en proc´edant comme dans le casλ <1, on obtient r∈]λ⁰,1[ etk∈Ntels que :

∀n>k an

an+1 6r.

Multiplions les n−kinégalités obtenues en rempla¸cant dans cette dernière nsuccessivement par k, k+ 1, k+ 2, . . . , n−1 ; on obtient :

µ a_k ak+1

¶ µa_k+1 ak+2

¶

· · · µa_n−1

an

¶

6r^n−k,

soit, apr`es simplification :

ak

an 6r^n−k. Ainsi, on a :

∀n>k an>akr^k−n;

le second membre est le terme général d’une série géométrique de raison r⁻¹ >1, qui est donc divergente. La proposition 11 (ii) permet d’en déduire la divergence deP

n an.

¤

(15)

Exemple La série de terme généralan= (9/10)ⁿn¹⁰⁰⁰ est convergente puisquean+1/antend vers 9/10 quand n → +∞. Le calcul numérique de la suite (an) est amusant : en effet ses premiers termes croissent très vite ; ce n’est qu’à partir d’un rang élevé qu’elle se décide à tendre vers 0.

Cela illustre bien le premier ´enonc´e de la proposition 9 (ainsi que les dangers de l’utilisation de la calculette. . .).

Le critère de d’Alembert a le frère aˆıné suivant.

Théorème 13 (critère de Cauchy)Soit(an)une suite de réels positifs. Supposons que la suite (a^1/nn )ait une limite λ∈ [0,+∞] quandntend vers l’infini. Alors :

• λ <1 ⇒ P

n an CV,

• λ >1 ⇒ P

n an DV.

Démonstration Supposons λ < 1 et fixons arbitrairement un réel r∈]λ,1[ . En choisissant ε=r−λ >0 dans la définition de lim

n→+∞a^1/n_n =λ, on obtient un entierktel que :

∀n>k ¯

¯a^1/n_n −λ¯

¯6r−λ, et donc ∀n>k a^1/n_n −λ 6 r−λ, soit encore :

∀n>k an 6rⁿ.

Le second membre de cette dernière est le terme général d’une série géométrique convergente ; la proposition 11 (i) entraˆıne donc la convergence deP

n an.

Le casλ >1 se traite de fa¸con analogue. En réécrivant l’hypothèse lim

n→+∞a^1/n_n =λ∈]1,+∞] sous la forme : lim

n→+∞a^−1/n_n =λ⁰∈ [0,1[ et en proc´edant comme dans le casλ <1, on obtientr∈]λ⁰,1[

et k∈Ntels que : ∀n>k a⁻¹_n 6rⁿ, soit encore :

∀n>k an>r⁻ⁿ.

Le second membre de cette dernière est le terme général d’une série géométrique de raisonr⁻¹>1, et par conséquent divergente. Ainsi, la proposition 11 (ii) entraˆıne la divergence de P

n an.

¤ Remarques • Lorsque la limite de l’un des deux crit`eres ci-dessus : lim

n→+∞

an+1

an ou lim

n→+∞a^1/n_n vaut 1, il se peut tout aussi bien queP

n an CV ouP

n anDV. En effet, la s´erie harmoniqueP

n n⁻¹ v´erifie :

n→+∞lim

(n+ 1)⁻¹

n⁻¹ = lim

n→+∞(n⁻¹)^1/n= 1

et diverge, comme on l’a vu haut. Mais d’autre part, la série de terme général a_n= 1 n(n+ 1) vérifie aussi :

n→+∞lim an+1

an = lim

n→+∞a^1/n_n = 1 et converge, car :

Xk n=1

an = Xk n=1

µ1 n− 1

n+ 1

¶

= µ

1−1 2

¶ +

µ1 2 −1

3

¶

+· · ·+ µ1

k− 1 k+ 1

¶

= 1− 1 k+ 1,

d’o`u : ^+∞X

n=1

an= lim

k→+∞

µ 1− 1

k+ 1

¶

= 1.

• Le critère de Cauchy est plus fort que celui de d’Alembert en ce sens que chaque fois que ce dernier permet de conclure, le premier le permet aussi. Cela résulte du fait suivant, qu’on ne démontrera pas ici :

n→+∞lim an+1

an

=λ ⇒ lim

n→+∞a^1/n_n =λ.

(16)

3.3 Comparaison d’une s´ erie ` a une int´ egrale impropre

Proposition 14 Soitf : [n0,+∞[→R⁺ (n0 ∈N) une fonction continue décroissante. Alors la série de terme généralan=f(n)est de même nature que l’intégrale impropre

Z _+∞

n0

f(x)dx. D´emonstration Sur chaque intervalle [k, k+ 1], on a : ak+16f(x)6ak, d’o`u :

ak+1= Z _k+1

k

ak+1dx 6 Z _k+1

k

f(x)dx 6 Z _k+1

k

akdx = ak, Xn

k=n0

ak+1 6 Xn k=n0

Z _k+1

k

f(x)dx 6 Xn k=n0

ak,

Xn k=n0

ak+1 (†)6

Z _n+1

n0

f(x)dx ^(‡)6 Xn k=n0

ak.

y

O ⁿ⁰ ⁿ⁰⁺¹ . . . n n+1 x f

Xn k=n0

a_k+1 Z_n+1

n0 f(x)dx Xn k=n0

a_k

Si l’int´egrale impropre Z _+∞

n0

f(x)dx diverge, i.e.

Z _+∞

n0

f(x)dx= lim

t→+∞

Z _t

n0

f(x)dx= +∞, alors

n→+∞lim Z _n+1

n0

f(x)dx= +∞. Il s’ensuit par l’inégalité (‡) et le théorème 7 (ii) : lim

n→+∞

Xn k=n0

ak = +∞, autrement ditP

n an DV.

Si Z _+∞

n0

f(x)dxconverge, i.e.

Z _+∞

n0

f(x)dx=c∈R, alors l’in´egalit´e (†) entraˆıne pour toutn>n0: Xn

k=n0

ak = an0+

n−1X

k=n0

ak+1 6 an0+ Z _n

n0

f(x)dx 6 an0+ Z _+∞

n0

f(x)dx = an0+c et par le th´eor`eme 10,P

n an CV.

¤ Exemple fondamental : La s´erie de Riemann X

n

1

n^α, α∈R.

• Siα60, alors on n’a pas : limn^−α= 0 etP

n n^−α DV d’apr`es la proposition 1 (ii).

• Siα >0, alors la fonctionf(x) =x^−α est continue et décroissante sur [1,+∞[ et la proposition précédente permet d’en déduire queP

n n^−αCV ssi Z _+∞

1

f(x)dx converge, autrement dit ssiα >1.

(17)

On a en r´esum´e :

Proposition 15 Nature de la s´erie de Riemann. Pour toutα∈R: X

n

1

n^α CV ⇐⇒ α >1.

Remarque Cette proposition (dont la divergence de la s´erie harmonique est le cas particulier α= 1) est d’autant plus importante que les crit`eres de d’Alembert et de Cauchy sont impuissants

`a l’´etablir. En effet, pour toutα∈R:

n→+∞lim

1/(n+ 1)^α

1/n^α = lim

n→+∞

µ 1 n^α

¶_1/n

= 1.

4 S´ eries absolument convergentes

Définition Soit (an) une suite de nombres réels ou complexes. On dit que la série de terme généralan estabsolument convergentesi la série de terme général (positif !) |an| converge.

Théorème 16 Toute série absolument convergente est convergente et l’on a alors :

¯¯

¯X

n>0

an

¯¯

¯ 6 X

n>0

|an|.

Démonstration Voyons d’abord le cas des séries à termes réels. À partir de la suite de nombres réels (an), on définit deux suites de nombres positifsde la fa¸con suivante :

a⁺_n = max(an,0); a⁻_n =−min(an,0).

Les inégalités évidentesa⁺_n 6|an|,a⁻_n 6|an|et l’hypothèseP

n |an|CV entraˆınent par la proposition 11 (i) que les séries de termes générauxa⁺_n eta⁻_n convergent ; la relationa_n =a⁺_n −a⁻_n et la proposition 9 permettent d’en déduireP

n an CV.

Si (an) est une suite de nombres complexes, les inégalités|Rean|6|an|et|Iman|6|an|montrent toujours en vertu de la proposition 11 (i) que les séries de termes généraux réels Rean et Iman

sont absolument convergentes, et donc convergentes selon le cas précédent. On conclut par la proposition 9 grâce à l’égalitéan =Rean+iIman.

¤ La réciproque de ce dernier théorème est fausse ; la proposition suivante permet en effet d’établir la convergence de séries qui ne sont pas absolument convergentes.

Proposition 17 Soit(an)n>n0 une suite d´ecroissantede nombres positifs telle que lim

n→+∞an= 0.

Alors la s´erie P

n (−1)ⁿan est convergente.

D´emonstration Soits_n =P_n

i=n0(−1)ⁿa_n la suite des sommes partielles et (u_n), (v_n) les suites d´efinies par : un =s2n+1 etvn =s2n. On a :

• un=s2n+1=s2n−1+a2n−a2n+1>s2n−1=un−1,

• vn=s2n=s2n−2−a2n−1+a2n6s2n−2=vn−1,

autrement dit, (un) est croˆıt et (vn) décroˆıt. De plus,un=s2n+1=s2n−a2n+16s2n=vn, donc pour tout n >n0 : u0 6un 6vn 6 v0. Ainsi (un) est majorée par v0 et (vn) est minorée par