SUITES ET SERIES DE FONCTIONS Exercices
U N I V E R S I T É D’ A R T O I S
Licence 2 Mathématiques
2015 - 2016
Université d’Artois
Suites et Séries de Fonctions Exercices
TD LM2 Pascal Lefèvre
1 Espaces complets
Exercice 1.1
On considère l’ensemble des rationnelsQavec la distance induite par la distance usuelle sur R(autrement dit la valeur absolue). Est-ce que l’on a ainsi un espace complet ?
Exercice 1.2
Montrer que l’espace`
ℓ1,} ¨ }1˘
est complet.
Exercice 1.3
On considère l’espace Cpr0,1sq des fonctions continues sur r0,1s à valeurs dans C, muni de la norme uniforme }.}8. Montrer que cet espace est complet.
Exercice 1.4
Soit ω : r0,1s Ñ R`˚. On considère l’espace Eω des fonctions définies sur r0,1s à valeurs dansC telles que sup
tPr0,1s
ωptq|fptq| est fini.
a) Justifier quef PEωÞÝÑ }f}ω “ sup
tPr0,1s
ωptq|fptq| définit une norme.
b) Montrer que `
Eω,} ¨ }ω
˘ est complet.
Exercice 1.5
On munitR` de la distance dpx, yq “ ˇˇ ˇ 1
x`1´ 1 y`1
ˇˇ ˇ. 1) Justifier que`
R`, d˘
est un espace métrique.
2) Montrer qu’il n’est pas complet.
Exercice 1.6
On considère l’espace Cpr0,1sq muni de la norme }f}1 “ ż1
0
|fptq|dt.
1) Montrer que l’on a effectivement un espace vectoriel normé.
2) On veut montrer que cet espace n’est pas complet. Pour n ě 2, on va considérer des fonctions continues fn qui valent ´1sur “
0,12 ´n1‰
et 1 sur“1
2 ` 1n,1‰ . a) Justifier que l’on a ainsi une suite de Cauchy.
b) Montrer que cette suite n’est pas convergente. Pour cela, on suppose que la suite converge vers f PCpr0,1sq:
(i) SoitaP‰ 0,12“
. Justifier que ża
0
|fptq `1|dt“0.
(ii) Conclure.
Exercice 1.7
Soit p un nombre premier. On munit Z de la distance p-adique: pour x, y P Z, on définit dpx, yq “ Nppx´yq avec Nppnq “ p´vppnq où vppnq désigne le plus grand entier k tel que de pk divise n lorsquen‰0; etNpp0q “0.
1) Justifier quepZ, dqest un espace métrique.
2) Justifier que la suitexm “1`p` ¨ ¨ ¨ `pm (où mě1) est de Cauchy dans pZ, dq. 3) Est-ce que pZ, dqest complet ?
Exercice 1.8
Lemme de Baire et conséquences.
1) E désigne un espace vectoriel normé. Deux joueurs, Pierre et Paul jouent au jeu suivant: Pierre choisit un ouvert U1 non vide de E, puis Paul choisit un ouvert non vide V1 inclus dans U1, puis Pierre choisit un ouvert non vide U2 inclus dans V1 et ainsi de suite. A la fin de la partie, les deux joueurs ont ainsi défini deux suites décroissantes d’ouverts non videspUnqet pVnq) telles que pour tout ně1,
Un`1ĂVn Ă Un
a) Montrer que č
ně1
Un “ č
ně1
Vn.
Notons U cet ensemble. Pierre a gagné la partie si U est vide et Paul si U n’est pas vide. On dit que l’un des joueurs a une stratégie gagnante s’il a une méthode lui permettant de gagner quelle que soit la façon de jouer de son adversaire. Ainsi, il est impossible que les deux joueurs aient chacun une stratégie gagnante. Par contre, il n’est pas certain a priori que l’un des deux joueurs en ait une.
b) On suppose que l’espaceE est une réunion dénombrable de fermésFn d’intérieur vide. Montrer que Pierre a une stratégie gagnante. Indication: Pierre commence à jouer U1“E et à chaque choixVn de Paul, Pierre répond VnzFn.
c) Montrer que si E est complet, alors Paul a une stratégie gagnante. Indication:
on pourra utiliser le théorème des fermés emboités.
2) En déduire qu’un espace de Banach ne peut pas être égal à une réunion de fermés d’intérieur vide.
3) Montrer qu’un espace de Banach n’admet pas de base (algébrique) dénombrable.
(Indication : par l’absurde : on utilisera Baire avec Fn “vectte1,¨ ¨ ¨ , enu)
2 Suites de fonctions
Exercice 2.1
On définit pourxPRet nPN: fnpxq “ px`1q2n`1` px´1q2n`1 px`1q2n`1´ px´1q2n`1¨
1) Justifier que ces fonctions sont bien définies et qu’elles sont impaires. Pour nPN, que vaut lim
tÑ`8fnptq?
2) Pour toutxą 0, comparerfnpxq et fn
´1 x
¯ .
3) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur Rvers une fonction f que l’on précisera.
4) Justifier qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme sur un intervalle (non réduit à un point) contenant 0.
5) Justifier qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme sur un intervalle de la forme rA,`8r (oùAą0).
6) On fixeA ąaą 0. Montrer qu’il y a convergence uniforme sur ra, As. On pourra d’abord traiter les casra,1s (avec 0ă aă 1) etr1, As (avec 1ăA).
Exercice 2.2
On définit pourxPs´π,`πretně1: fnpxq “ sin2pnxq
nsinpxq lorsquex‰ 0etfnp0q “0.
1) Justifier que ces fonctions sont bien définies et qu’elles sont impaires.
2) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur s ´ π, πr vers la fonction nulle.
On fixe0ăaă Aăπ.
3) Montrer qu’il y a convergence uniforme sur ra, As.
4) Justifier qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme sur s0, As. Y a-t-il conver- gence uniforme sur r0, As ?
5) Y a-t-il convergence uniforme surra, πr? Exercice 2.3
On définit pourxPRet ně1: fnpxq “´ 1` x
n
¯n
.
1) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur Rvers une fonction (bien connue!) que l’on précisera.
2) Justifier qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme surR`. Est-ce possible sur R? Sur R´ ?
3) Montrer qu’il y a convergence uniforme sur tout segment.
Exercice 2.4
Soit f une fonction continue sur r0,1s à valeurs dans r0,1s. On définit la suite de fonctions suivantes
f0“Idr0,1s et pour ně1, fn “f ˝ ¨ ¨ ¨ ˝f n fois
On suppose que cette suite converge simplement vers fonction nulle sur r0,1s. On veut montrer qu’il y a en fait convergence uniforme.
1) Justifier que f admet au moins un point fixe. Démontrer qu’en fait 0 est le seul point fixe de f.
2) En déduire que l’on a soit “@xPs0,1s, fpxq ăx” soit “@xPs0,1s, fpxq ąx”.
3) Justifier que l’on est nécessairement dans le premier cas.
On fixeεą0.
4) Justifier l’existenceM “ max
xPrε,1s
fpxq
x ¨Comparer M et 1.
5) En déduire que pour toutnPNet tout xP r0,1s, on afnpxq ďmax`
ε, Mn˘ . 6) Conclure.
Exercice 2.5
Théorème de Dini. Soit pfnqnPN une suite croissante de fonctions continues définies sur un compact K Ă R. On suppose qu’il y a convergence simple vers une fonction f, continue sur K.
On va montrer qu’en fait il y a convergence uniforme.
Soit εą0. On définit les parties Fn “∆´n1prε,`8rqoù ∆n “f ´fn :KÑR. 1) Justifier queFn est une partie fermée deK et que č
nPN
Fn “ H. 2) En déduire qu’il existen0 PNtel que pour tout něn0: Fn “ H. 3) Conclure.
4) Application: retrouver une preuve pour la question 3. dans l’exercice 3.3.
Exercice 2.6
Une application classique de Dini. On définit pour x P r0,1s et n P N, la suite de fonctions polynômes suivantes: P0 “0et pournPN
Pn`1pxq “Pnpxq `1 2
“x´Pn2pxq‰ .
1) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur r0,1s vers la racine carrée. Pour cela on pourra
a) Montrer que pour toutxP r0,1s et nPN, on a0ďPnpxq ď?x.
b) Montrer que pPnqnPN est croissante.
c) Conclure.
2) Montrer qu’il y a convergence uniforme sur r0,1s.
Exercice 2.7
Soit pPnqnPN une suite de fonctions polynômes, uniformément convergente sur R. On veut montrer que nécessairement la limite est un polynôme.
1) Écrire le critère de Cauchy uniforme.
2) En déduire qu’à partir d’un certain rangN, les polynômesPn etPN diffèrent d’une constante.
3) Conclure.
Exercice 2.8
Théorème de Weierstrass. Polynômes de Bernstein.
On fixe une fonction f, continue sur r0,1s. Pour n P N avec n ě 1, on définit le polynôme
BnpXq “ ÿn k“0
ˆn k
˙ f
´k n
¯
Xkp1´Xqn´k.
1) Calculer Bn lorsquef vaut1, lorsque f est l’identité puis lorsquefpxq “x2. 2) En déduire que
ÿn k“0
ˆn k
˙
pk´nXq2Xkp1´Xqn´k “nXp1´Xq. Pourδą0,ně1etxP r0,1s, on note Anpx, δql’ensemble!
kP t0, . . . , nuˇˇ ˇ ˇˇ ˇk
n´x ˇˇ ˇěδ
). 3) Montrer que
ÿ
kPAnpx,δq
ˆn k
˙
xkp1´xqn´k ď 1 4nδ2¨ 4) Montrer que
|fpxq ´Bnpxq| ď sup
kRAnpx,δq
ˇˇ ˇf
´k n
¯
´fpxq ˇˇ
ˇ` }f}8
2nδ2¨
5) Conclure que la suite de polynômespBnqnPN converge uniformément versf surr0,1s. Exercice 2.9
On s’intéresse à la valeur de l’intégrale du sinus cardinal surR`:
ż`8 0
sinptq t dt.
1) Justifier que la fonction sinus cardinal définie sur R par Sptq “ sinptq
t pour t ‰ 0 et Sp0q “1est continue sur R, et bornée.
2) Montrer que pour toutxPR`˚: Fpxq “ ż`8
0
Sptqe´xtdt est bien défini.
3) Justifier que ż`8
0
Sptqdt est bien défini (on pourra utiliser un théorème d’Abel vu en S.I.). On posera donc Fp0q “I.
On considère la suite de fonctions définie pour nPNet xPR` par fnpxq “
żn 0
Sptqe´xtdt
4) Cette suite de fonctions converge-t-elle simplement sur R`? Si oui vers quelle fonction ?
5) On fixe des entiers měně1.
a) PourxPR`, comparer fmpxq ´fnpxqet żm
n
1
tep´x`iqtdt.
b) A l’aide d’une intégration par partie, montrer que pour toutxPR`: ˇˇ
ˇˇ ˇ
żm n
1
tep´x`iqtdt ˇˇ ˇˇ ˇď 3
n¨
c) En déduire que la suite de fonctionspfnqnPN converge uniformément surR`. d) En déduire que F est continue surR`.
e) Montrer que lim
xÑ`8Fpxq “0.
6) Montrer que, pour nPN, fn est de classe C1 sur R` et que pour tout xě0:
fn1pxq “ ´1`e´nx`
xsinpnq `cospnq˘
x2`1 ¨
7) En déduire que la suite de fonctions pfn1qnPN converge uniformément sur tout in- tervalle ra,`8r (avec a ą 0). En déduire que F est dérivable sur R`˚ et donner une expression de F1 sur R`˚.
8) En déduire la valeur deF sur R`˚ puis de I.
3 Séries de fonctions
Exercice 3.1
On définit pourxPRet nPN: fnpxq “e´n2x.
1) Montrer que la série de fonctions de terme généralfn converge simplement sur R`˚. On notera S la somme ainsi définie surR`˚.
2) Montrer que cette série de fonctions converge normalement sur tout intervalle sa,`8r où aą0.
3) Montrer qu’il n’y a pas convergence uniforme surs0, αq oùαą0.
4) En déduire que S est continue surR`˚.
5) Montrer que la limite de S en `8 existe et vaut1.
6) Quelle est la limite deS en 0`?
7) Montrer queS est de classeC1 surR`˚ et donner une expression de la dérivée sous forme d’une série.
Exercice 3.2
Fonction zêta de Riemann.
Pourně1et z PC, on définit fnpzq “n´z “e´zlnpnq.
1) Montrer que la série de fonctions de terme fn converge normalement sur tout do- mainetzPC|Repzq ąau oùaą1.
Pourxą1, on définit donc ζpxq “
`8ÿ
n“1
1 nx¨ 2) Montrer que ζ est continue surs1,`8r.
3) Montrer que ζ est C1 surs1,`8r et donner une expression de la dérivée.
Exercice 3.3
On définit pourxPRzNet nPN: fnpxq “ 1 px´nq2¨
1) Montrer que la série de fonctions de terme généralfnconverge simplement surRzN.
On notera S la somme ainsi définie surRzN.
2) Soit K un segment inclus dans RzN. Montrer que la série de fonctions ÿ
ně0
fn
converge normalement sur K. Même question en remplaçantK pars ´ 8,´1s. 3) En déduire que S est continue surRzN.
4) Montrer que la limite de S en ´8 est nulle.
5) Montrer que pour toutxdans R`zN, on aSpxq ě4.
6) Donner un équivalent deS au voisinage de0.
7) Montrer queS est de classeC1 surRzNet donner une expression de la dérivée sous forme d’une série.
Exercice 3.4
On définit pourxPR` et nPN: fnpxq “ p´1qnxne´x n! ¨
1) Montrer que la série de fonctions de terme généralfn converge simplement vers une fonction que l’on précisera.
Pour la suite de cet exercice, on rappelle la formule de Stirling: n!„?
2πne´nnn. 2) ÀnPNfixé, déterminer sup
xě0
xne´x.
3) Montrer que la convergence n’est pas normale.
4) Montrer que la convergence est uniforme sur R`. Exercice 3.5
Soit panqnPN une suite de réels décroissante vers0. Montrer l’équivalence entre (i) La série de fonctions ř
ansinpnxqconverge uniformément surR et
(ii) La suitepnanqnPN converge vers0.
Indications: pour piq ñ piiq, on pourra considérer une somme pour n P tN, . . . ,2Nu et l’évaluation en π{2N. On se souviendra aussi quesinpxq ě 2
πxlorsque xP r0, π{2s. Exercice 3.6
Une fonction continue sur Rmais nulle part dérivable.
1) Soit` εk,n˘
pk,nqPN2 des choix de signes, i.e. @k, nPN, εk,n P t´1,`1u. Àn fixé, on note pn le nombre de `1parmi les εk,n où 0ďkď n.
On considèresn “ ÿn k“0
εk,n.
a) Montrer que sn “2pn´ pn`1qpuis que ˇˇsn`1´sn
ˇˇ est un entier impair.
b) En déduire que la suite ` sn˘
nPN diverge.
2) Dans cette question uniquement, on considère une fonctionf :I ÑR dérivable en ℓPI. On suppose que l’on a deux suitespanqnPN et pbnqnPN, convergentes versℓ, telles que an ďℓďbn pour tout ně1.
Montrer que la suite
˜fpbnq ´fpanq bn´an
¸
ně1
est convergente vers f1pℓq.
3) On va montrer qu’il existe des fonctions continues sur Rmais nulle part dérivable.
On commence par définir la fonction∆ :RÝÑ RpourxPRpar
∆pxq “ distancepx,Zq “mint|x´n|; nPZu a) Dessiner le graphe de ∆ et déterminer l’image de∆.
b) Montrer que ∆ est1-lipschitzienne.
c) SoientA, s PNavecsě1.
Montrer que ∆ est affine sur tous les intervalles rA2´s,pA`1q2´ss. On précisera la pente (en valeur absolue).
4) Soit xPR. Montrer que la série ÿ8 k“0
∆` 2kx˘
2k converge.
Dans toute la suite de cette partie, la fonction T est définie par Tpxq “ ÿ8 k“0
∆` 2kx˘ 2k où xPR.
5) Démontrer queT est continue surR.
6) Montrer que T est périodique et donner une période.
7) On fixe αPR.
a) Montrer que pour tout entier n ě 1, il existe deux rationnels an et bn, respec- tivement de la forme q
2n et q`1
2n (avec qPZ), vérifiantan ďαă bn.
b) Les suitespanqně1 et pbnqně1 sont-elles convergentes ? Si oui, vers quelle limite ? c) Que vaut∆`
2kbn
˘´∆` 2kan
˘ pourk ěn?
d) On fixe 0ďk ăn des entiers. Montrer que∆` 2kbn˘
´∆` 2kan˘
P t˘2k´nu. e) En déduire que la suite
˜
Tpbnq ´Tpanq bn´an
¸
ně1
est divergente puis queT n’est pas dérivable enα.
8) Conclure.
Exercice 3.7
1) Justifier queFpxq “ ż1
0
txtdt est bien défini pourxPR.
2) Pourn, mPN, montrer que ż1
0
tm`
lnptq˘n
dt“ p´1qn n!
pm`1qn`1¨ 3) Montrer que Fpxq “
`8ÿ
n“0
p´1qn xn pn`1qn`1¨ Exercice 3.8
PourxPs ´1,`1r, on considère Fpxq “
`8ÿ
n“1
xnsinpnxq
n ¨
1) Montrer que Fpxq “
`8ÿ
n“1
xnsinpnxq
n est bien défini et de classe C1 surs ´1,`1r. 2) Montrer que pourxPs ´1,`1r, on a F1pxq “ sinpxq `xcospxq ´x2
1´2xcospxq `x2 ¨ 3) En déduire que Fpxq “arctan
˜ xsinpxq 1´xcospxq
¸
pourxPs ´1,`1r.
4) En déduire les valeurs de
`8ÿ
n“1
sinpnq n et de
`8ÿ
n“1
p´1qnsinpnq
n ¨ Indication: on pourra utiliser le th. d’Abel uniforme.
Exercice 3.9
On fixe un paramètreaPRet on considère la suite de fonctions suivantes, pourxPR` et nPN:
fnpxq “e´pn`1qxsinpaxq. 1) Montrer que
ż`8 0
sinpaxq
ex´1 dxest bien définie.
2) Montrer que, à α ą 0 fixé, la série de fonctions de terme général fn converge normalement sur l’intervalle rα,`8r vers une fonction que l’on précisera.
3) Soientβ ąαą0. Justifier que żβ
α
sinpaxq ex´1 dx“
`8ÿ
n“0
żβ α
e´pn`1qxsinpaxqdx.
4) On fixe αet on note, pour nPN, unpβq “ żβ
α
e´pn`1qxsinpaxqdx.
a) Montrer que la série de fonctionspunqconverge normalement sur rα,`8r. b) En déduire que
ż`8 α
sinpaxq ex´1 dx“
`8ÿ
n“0
ż`8 α
e´pn`1qxsinpaxqdx.
5) On note, pournPN, vnpαq “ ż`8
α
e´pn`1qxsinpaxqdx.
a) PournPN, montrer que vnpαq “ pn`1qsinpαaq `acospαaq
pn`1q2`a2 e´pn`1qα. b) Conclure que
ż`8 0
sinpaxq ex´1 dx“
`8ÿ
n“0
a
pn`1q2`a2¨
4 Séries entières
Exercice 4.1
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes a)
`8ÿ
n“0
3n2`17n`5 n`5 zn b)
`8ÿ
n“0
np´2qn`1zn
c)
`8ÿ
n“0
`2`cospnq˘ zn
d)
`8ÿ
n“1
nn n!zn e)
`8ÿ
n“1
´
cosp1{nq¯nα
zn, où αPR.
f)
`8ÿ
n“0
enzn2
g)
`8ÿ
n“0
n!zn2
h)
`8ÿ
n“1
`1` p´1qn n
˘n2
zn.
i)
`8ÿ
n“1
`sinpπ? 2nq˘n
zn.
Exercice 4.2
Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières suivantes a)
`8ÿ
n“1
n2xn
b)
`8ÿ
n“a`1
1
n´axn où aPN.
c)
`8ÿ
n“2
n n2´1xn d)
`8ÿ
n“0
1 2n`1xn. e)
`8ÿ
n“1
cos`
2nπ{3˘
n xn
f) La série entière associée à la suitewn “ żπ{2
0
´
cosptq¯n
dt.
Exercice 4.3
Développer en série entière les fonctions suivantes (on précisera le domaine de définition et le rayon de convergence) :
a) fpzq “ 1
z´a avecaPC˚. b) fpzq “ 1
1`z`z2¨ c) fpzq “ zsina
z2´2pcosaqz`1 avecaPR.
d) fpzq “ 1
p1´zqp1´z3q¨ e) fpxq “ ln´?
1`x`? 1´x¯
. (Indication: on pourra commencer par dériver cette fonction)
f) fpxq “ arcsin? pxq
1´x2 ¨ (Indication: on pourra commencer par dériver cette fonction et montrer que cette fonction est solution d’une équation différentielle simple)
Exercice 4.4
Prouver que, pour toutxPR, on achpxq ďex2{2. Exercice 4.5
Soitfpzq “ ÿ
ně0
unznune série entière de rayon de convergence infini. On suppose que :
DkPN, Da, bą0, @zPC, |fpzq| ď a|z|k`b.
On veut montrer que f est un polynôme.
a) Soientrą0 et nPN. Que vaut ż2π
0
e´intfpreitqdt ? b) Montrer que un est nul pour nąk et conclure.
Exercice 4.6
Développer en série entière sur R: fpxq “e´x22 żx
0
et22dt.
Indication : on peut montrer que f vérifie une équation différentielle simple.
Exercice 4.7
On considère la série entièrefpxq “
`8ÿ
n“1
p´1qn`1
np2n`1qx2n`1. 1) Quel est son rayon de convergence, que l’on noteraR ?
2) Sur quel intervalle la fonctionf est-elle continue? Démontrer qu’elle est en réalité continue sur r´R, Rs.
3) Exprimer, au moyen des fonctions usuelles, la somme de la série dérivée surs´R, Rr. En déduire une expression de f surs ´R, Rr.
4) Calculer
`8ÿ
n“1
p´1qn`1 np2n`1q. Exercice 4.8
On considère la série entièrefpxq “
`8ÿ
n“2
p´1qn npn´1qxn.
1) Déterminer l’intervalle de convergence def: on déterminera le rayon de convergence R et on précisera s’il y a convergence enR et ´R.
2)Calcul de f.
a) Première méthode. En remarquant que 1
npn´1q “ 1 n´1 ´ 1
n, exprimer fpxq avec des fonctions usuelles sur l’intervalles ´R, Rr.
b) Autre méthode.
(i) Démontrer que f est continue sur son intervalle de convergence.
(ii) Exprimer f1, puis f, à l’aide de fonctions usuelles sur l’intervalles ´R, Rr. 3) Déduire des questions précédentes la valeur de ÿ
ně2
p´1qn npn´1q¨ Exercice 4.9
Soient deux suites panqně0 et pbnqně0 avec bn ą 0 et lim
nÑ`8
an
bn “ λ ‰ 0. On suppose que ÿ
ně0
bnxn est de rayon de convergence1 et divergente en1.
1) Montrer que
`8ÿ
n“0
anxn est de rayon de convergence1.
2) Montrer que lim
xÑ1´
`8ÿ
n“0
bnxn “ `8.
3) Montrer que lim
xÑ1´
`8ÿ
n“0
anxn
`8ÿ
n“0
bnxn
“λ. Indication: faire un raisonnement “à la Cesàro”.
Exercice 4.10
On s’intéresse à une série entière
`8ÿ
n“0
anxn de rayon de convergence 1, de sommefpxq, telle que lim
xÑ1´fpxqexiste (on noteℓ cette limite).
La question est de savoir si la série ÿ
ně0
an converge (et vers quoi)...
1) En considérantan “ p´1qn (pour tout nP N), montrer que, en général, la réponse est non.
2) On suppose dans cette question seulement que an ě0pour toutnPN.
a) Soit N PN, montrer que ℓě ÿN n“0
an. b) En déduire que la série ÿ
ně0
an converge.
c) Conclure
3)Théorème de Tauber. On suppose désormais que lim
nÑ`8nan “0.
a) PourN PN, on pose xN “1´ 1
N `1¨Établir ˇˇ
ˇˇ ˇf`
xN
˘´ ÿN n“0
an
ˇˇ ˇˇ ˇ ď
ˇˇ ˇˇ ˇ
ÿN n“0
an
`xnN ´1˘ˇ ˇˇ ˇˇ`
ˇˇ ˇˇ ˇ
`8ÿ
n“N`1
anxnN ˇˇ ˇˇ ˇ
ď 1
N`1 ÿN n“0
nˇˇanˇˇ` sup
něN`1
ˇˇnanˇˇ `8ÿ
n“N`1
xnN n ¨ b) Conclure.
Exercice 4.11
Théorème de Bernstein pour les séries entières.
On fixeAą 0. Soitf :s ´A, ArÝÑRune fonction de classeC8. On suppose que
@kPN, @xPs ´A, Ar fp2kqpxq ě0.
On veut montrer que f est développable en série entière.
On considère la fonctionFpxq “fpxq `fp´xq oùxPs ´A, Ar.
1) Justifier queF est de classeC8 et que: @k PN, @xPs ´A, Ar, Fp2k`1qp0q “0et Fp2kqp0q ě0.
2) Soit nP N. Montrer qu’il existe un polynôme Pn de degré 2n (que l’on précisera) tel que
@xPs ´A, Ar, Fpxq “Pnpxq `Rnpxq avecRnpxq “
żx 0
px´tq2n`1
p2n`1q! Fp2n`2qptqdt 3) On fixe aPs0, Ar.
a) Montrer que pour toutxP r0, ar, on a 0ďRnpxq ď´x
a
¯p2n`1q
Rnpaq ď´x a
¯p2n`1q
Fpaq. b) En déduire que F est développable en série entière sur s ´A, Ar. 4) Soit xPs ´A, Ar.
a) Justifier la validité de l’écriturefpxq “Q2n`1pxq `rnpxq avecrnpxq “
żx 0
px´tq2n`1
p2n`1q! fp2n`2qptqdt et Qnpxq “ ÿn j“0
fpjqp0q j! xj. b) Montrer que |rnpxq| ďRnp|x|q puis que lim
xÑ`8rnpxq “0.
c) Conclure.
5) Appliquer ce théorème à la fonctionxÑtanpxq. Exercice 4.12
Soit fpzq “ ÿ
ně0
anzn développable en série entière (avec un rayon de convergence strictement positif). On suppose de plus que a0 ‰ 0. On veut prouver que la fonction 1{f est développable en série entière.
1) On suppose que 1
f “ ÿ
ně0
bnzn, avec rayon de convergence ρ strictement positif.
Quelle relation de récurrence vérifie la suite pbnq?
2) Soit pbnq la suite définie par la relation de récurrence précédente. Montrer qu’il existe C ą0 tel que, pour toutnPN:
|bn| ď Cn
|a0|.
3) En déduire que 1{f est développable en série entière.
Exercice 4.13 Soit fpzq “ ÿ
ně0
anzn développable en série entière. On suppose que la suite panqně0
est périodique. Montrer quef est en fait une fraction rationnelle.
Exercice 4.14
On se propose dans cet exercice de calculer ÿ
ně0
1 p3nq!¨ Pour cela, on introduit
Spxq “ ÿ
ně0
x3n p3nq!¨ Comme d’habitude, on notej “e2iπ{3.
a) Calculer 1`jk`j2k pour tout entier kPN.
b) En déduire le développement en série entière de ex`ejx`ej2x. c) En déduireSpxq, puis la valeur de la somme ÿ
ně0
1 p3nq!¨
Exercice 4.15
Soit punq la suite réelle définie paru0 “1et, pour tout nPN, un`1 “
ÿn k“0
ukun´k.
1) Montrer qu’il existeC ą 0tel que pour tout nPN,0ďun ď Cn pn`1q2¨ 2) Montrer que la série entièrefpxq “ ÿ
ně0
unxn a un rayon de convergence strictement positifrą0.
3) Démontrer que, pour toutxPs ´r,´rr, on a xf2pxq ´fpxq `1“0.
4) En déduire qu’il existeρą0tel que pour tout xnon nul dans s ´ρ, ρr, on a fpxq “ 1´?
1´4x
2x ¨
5) En déduireun en fonction den.
Exercice 4.16
On veut montrer que ż1
0
lnpxqlnp1´xqdx“
`8ÿ
n“1
1 npn`1q2¨
1) Justifier que la fonctionxPs0,1rÞÑlnpxqlnp1´xqse prolonge par continuité àr0,1s (en une fonction que l’on notera f) et en déduire l’existence de
ż1
0
lnpxqlnp1´xqdx.
Pour tout entierně1, on définitunpxq “ 1
nxnlnpxqpour xPs0,1set unp0q “0.
2) Montrer que la série de fonctions de termes un converge simplement sur r0,1s et que sa somme veut ´f.
3) Montrer que la série de fonctions de termes un converge normalement sur r0,1s. 4) Pour tout entierně1, calculer
ż1
0
xnlnpxqdx.
5) Conclure. On pourra enfin calculer la somme en utilisant
`8ÿ
n“1
1 n2 “ π2
6¨ Exercice 4.17
Pour tous les entiers k et n tels que n ě 1 et 0 ď k ď n, on note Dn,k le nombre de bijections (ou permutations) s de l’ensemble t1, . . . , nu ayant k points fixes, c’est à dire telles que
k“card iP t1, . . . , nu; spiq “i( .
On pose D0,0 “ 1 et dn “ Dn,0 désigne le nombre de dérangements, c’est à dire de permutations sans point fixe.
1) Dresser la liste de toutes les permutations de t1,2,3u et en déduire la valeur de D3,0,D3,1,D3,2 etD3,3.
2) Montrer que n!“ ÿn k“0
Dn,k. 3) Montrer que Dn,k “
ˆn k
˙
Dn´k,0. 4) Montrer que la série entière ÿ
ně0
dn
n!zn a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
5) On posefpxq “
`8ÿ
n“0
dn
n!xn. Montrer que exfpxq “ 1
1´x pour|x| ă1.
6) En déduire que dn “n!
ÿn k“0
p´1qk k! ¨
7) Soitpn la probabilité pour qu’une permutation prise au hasard soit un dérangement.
Quelle est la limite de pn quand n tend vers `8? Exercice 4.18
On rappelle qu’une involution de t1, . . . , nu est une application s de t1, . . . , nu dans t1, . . . , nu telle que s ˝spkq “ k pour tout k P t1, . . . , nu. On note In le nombre d’involutions de t1, . . . , nu et on convient que I0 “1.
1) Démontrer que, si ně1, alors
a) In`1 “ In `nIn´1. Indication: on pourra commencer par justifier que si E est un ensemble de cardinal n alors In est aussi le cardinal de ts : E Ñ E| s˝s “ I dEu. Puis on partionnera suivant les images de spn`1q.
b) In ďn!
2) Démontrer que la série entière de coefficients an “ In
n! a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
On noteS la somme: @xPs ´1,1r, Spxq “ ÿ
ně0
In n!xn.
3) Justifier que, pour toutxPs ´1,1r, on aS1pxq “ p1`xqSpxq.
4) En déduire une expression deSpxqen fonction dex. Indication: on pourra s’intéresser à la dérivée dexÞÑSpxqexp`
´ 12p1`xq2˘ . 5) En déduire une expression deIn. Exercice 4.19
Chercher des solutions développables en série entière de l’équation p1`x2qy2´2y “0
On exhibera notamment deux telles solutions indépendantes.
En fait (on l’admettra) que toute solution de l’équation différentielle est alors combi- naison linéaire de ces deux solutions.
Exercice 4.20
Théorème Taubérien de Hardy-Littlewood. On s’intéresse à une série entière
`8ÿ
n“0
anxn de rayon de convergence1, de sommefpxq, telle que lim
xÑ1´
fpxqexiste (et on noteraℓcette limite).
La question est de savoir si la série ÿ
ně0
an converge.
On suppose ici que la suite` nan˘
n est bornée (en fait, on ne va utiliser que la condition nan ě ´C pour toutnPN, où C ą0).
1) Montrer que pour tout polynôme P, on a lim
xÑ1´
`8ÿ
n“0
anPpxnqexiste et vautPp1qℓ.
Soit q la fonction indicatrice de l’intervalle”1 e,1ı
. 2) On veut montrer que lim sup
xÑ1´
`8ÿ
n“0
anqpxnqest majoré par ℓ.
Soit εą0. On considère la fonction hptq “ qptq ´t
tp1´tq pour tPs0,1r.
a) Montrer que l’on peut prolonger h par continuité en 0 et en 1. Quel est le seul point de discontinuité de h(sur r0,1s) ?
b) Justifier l’existence d’un polynômeH vérifiant H ě hsur s0,1r et ż1
0
´
Hptq ´hptq¯
dtďε.
Soit P le polynôme PpXq “X`Xp1´XqHpXq. Noter que P ěq sur r0,1s. c) On pose Φptq “ Pptq ´qptq
p1´tq pourtPs0,1r. (i) Montrer que, pour toutxPs0,1r, on a
`8ÿ
n“0
anqpxnq ´
`8ÿ
n“0
anPpxnq ďCp1´xq
`8ÿ
n“1
Φpxnq.
(ii) Montrer que lim
xÑ1´p1´xq
`8ÿ
n“1
Φpxnq existe et vaut ż1
0
1
tΦptqdtď ε.
d) Conclure.
3) Montrer que de même on a lim inf
xÑ1´
`8ÿ
n“0
anqpxnq ěℓ et conclure.
5 Séries de Fourier
Exercice 5.1
Dans tout cet exercice les fonctions sont 2π-périodiques.
Développer en série de Fourier les fonctionsf suivantes définies par:
1)fpxq “cosp2xq pourxPR.
2)fpxq “xpourxPs ´π, πs.
3)fpxq “ ´1pourxPs ´π,0s et fpxq “ `1 pourxPs0, πs. 4)fpxq “ |x| pourxP r´π, πs.
5)fpxq “x2 pourxP r´π, πs. 6)fpxq “x2 pourxPs0,2πs. En déduire les valeurs de
ÿ
ně0
1 p2n`1q2
ÿ
ně1
1 n2
ÿ
ně0
1 p2n`1q4
ÿ
ně1
1 n4¨ Exercice 5.2
SoientaPRzZet fptq “exppiatq pourtP r´π, πr, prolongée par 2π-périodicité.
Calculer les coefficients de Fourier de f puis montrer que πcotanpπaq “ 1
a ` ÿ8
n“12aa2´n2¨ En faisant un D.L. en a“0à l’ordre3de cotanpπaq ´ 1
πa, en déduire les sommes ÿ
ně1
1 n2
ÿ
ně1
1 n4¨ Exercice 5.3
Développer en série de Fourier la fonction2π-périodique tÞÑ |sinptq|. Exercice 5.4
Soientf la fonction 2π-périodique qui coincide avec la fonction indicatrice de r´1,1s sur r´π, πr.
1) Développerf en série de Fourier.
2) En déduire la convergence et les valeurs de ÿ
ně1
sinpnq n
ÿ
ně1
˜ sinpnq
n
¸2
Exercice 5.5
Justifier que pour tout n P Z et toute fonction h continue par morceaux et 2π- périodique, on a
ˇˇphpnqˇˇď ż2π
0
|hpxq|dx
2π ď´ ż2π
0
|hpxq|2 dx 2π
¯1{2
.
Exercice 5.6
Soientf et g continues par morceaux et2π-périodiques.
On veut montrer que zf ˚gpnq “fppnq.pgpnqpour toutnPZ.
1) Le montrer lorsque g est un polynôme trigonométrique.
2) Conclure.
Exercice 5.7
Soientf et g continues surRet 2π-périodiques. On veut montrer que
nÑ`8lim ż2π
0
fpxqgpnxqdx 2π “
˜ ż2π 0
fpxqdx 2π
¸ .
˜ ż2π 0
gpxqdx 2π
¸
1) Établir le résultat pour g polynôme trigonométrique.
2) Conclure.
Exercice 5.8
Inégalité de Bernstein. Soit P un polynôme trigonométrique de degré N ě1. On veut montrer que
sup
xPR
ˇˇP1pxqˇˇďNsup
xPR
ˇˇPpxqˇˇ.
On écritP “ ÿN k“´N
ckek. 1) SoitFptq “P`πt
2N
˘ où t P R. Quelle inégalité cherche-t-on à montrer en terme de F et F1 ?
2) On considère la fonction triangle∆ définie par∆pxq “x pourxP‰
´π{2,`π{2‰ , par∆pxq “π´xpour xP‰
`π{2,`3π{2‰
et qui est2π-périodique.
a) Développer∆ en série de Fourier.
b) Justifier que pour toutk PZavec|k| ďN, on a kπ
2N “ lim
mÑ`8
ÿm n“´m
∆ppnqen
´πk 2N
¯
3) En déduire que sup
tPR
ˇˇF1ptqˇˇďMsup
tPR
ˇˇFptqˇˇavec M “ lim
mÑ`8
ÿm n“´m
ˇˇ p∆pnqˇˇ. 4) Conclure
Exercice 5.9
Théorème de Bernstein. Soit f une fonction Höldérienne d’ordre α avec αą 1{2 i.e.
sup!|fpxq ´fpyq|
|x´y|α ; x‰ y) ă 8.
1) En notantfxptq “fpx`tqoù x, tPR, calculerfpxpnqen fonction defˆpnqpour tout nPZ.
2) On veut montrer qu’il existeC ą 0tel que pour toutj PN, on a C2´2jαě ÿ
2j`1ď|n|ď2j`1
|fˆpnq|2.
a) Soit xPR.
(i) Exprimer żπ
´π
ˇˇfxptq ´fptqˇ
ˇ2dt à l’aide des coefficients de Fourier de f. (ii) En utilisant la propriété Höldérienne def, montrer qu’il existe cą0tel que pour toutj PN
c.x2αě ÿ
2j`1ď|n|ď2j`1
|fˆpnq|2sin2` nx{2˘
.
b) Conclure en choisissant judicieusement une valeur de xdans la question a.
3) Montrer que les séries de terme généralˇ ˇfˆpnqˇ
ˇ et ˇ
ˇfˆp´nqˇ
ˇconvergent.
Exercice 5.10
Inégalité isopérimétrique. Soit Γ un arc de Jordan dans C de classe C1 par morceaux (continue fermée sans point double) et de longueur L enfermant une surface d’aireS.
Alors on veut montrer que
L2 ě4πS
et que l’on a égalité uniquement dans le cas d’un cercle.
On peut supposerL“ 2π (pourquoi ?) et on paramètre Γ par l’abscisse curvilignes (doncΓ“ tpxpsq, ypsqq|sP r0,2πsu). On peut aussi supposer xˆp0q “0 (pourquoi ?).
a) ExprimerS et L(“2π) en fonction d’intégrales simples de la variables (on pourra utiliser la formule de Green-Riemann pour exprimer S).
b) Etablir l’inégalité d’Hürwitz : soitf une fonction de classeC1 surr0,2πs à valeurs complexes. Alors
1 2π
ż2π 0
|fpxq|2dx´ˇˇ ˇ 1
2π ż2π
0
fpxqdx ˇˇ ˇ
2
ď 1 2π
ż2π 0
|f1pxq|2dx.
On étudiera le cas d’égalité.
c) Conclure (Indication : on minoreraL2´4πS par0en étudiant le cas d’égalité).
Exercice 5.11
Equation de la chaleur (cas d’une barre finie). On considère une fonction h C1 sur s0, πr. On cherche à trouver u, définie sur r0, πs ˆR` et C2 sur s0, πrˆs0,`8r, telle que
up0, tq “upπ, tq “0 pourtě0 upx,0q “hpxq pourxPs0, πr Bu
Bt ´ B2u
Bx2 “0 dans s0, πrˆs0,`8r.
1) On va d’abord montrer que les solutions à variables séparées : upx, tq “ fpxqgptq de l’équation de la chaleur Bu
Bt ´ B2u
Bx2 “ 0dans s0, πrˆs0,`8r avec up0, tq “ upπ, tq “ 0 pourtą0 sont de la forme
unpx, tq “cnsinpnxq.e´n2t où ně1et cn PR.
On suppose queun’est pas identiquement nulle (la fonction nulle est clairement solu- tion ici).
a) Justifier que les fonctionsf et g sont chacune solutions d’une équation différen- tielle: f2“ λf et g1 “λg oùλ est un réel.
b) Résoudre ces équations différentielles et exploiter up0, tq “ upπ, tq “ 0 pour justifier la forme de λ.
2) Résoudre le problème de la chaleur. Indication : on “prolongera” d’une part h en une fonction impaire 2π-périodique sur R. D’autre part, on utilisera la méthode de superposition, i.e. on sommera la famille de solutions obtenues au a. Ainsi on cherche une solution sous la forme
`8ÿ
n“1
cnsinpnxq.e´n2t
3) PourxPs0, πr, montrer que lim
tÑ0`upx, tq “hpxq et que lim
tÑ`8upx, tq “0.
