ann´ee2008-2009 D´ETERMINANTS MI3Alg`ebreetanalysefondamentalesICHAPITREIII

UNIVERSIT´ E PARIS 7 D E N I S D I D E R O T

MI3

Alg` ebre et analyse fondamentales I

CHAPITRE III

D´ ETERMINANTS

ann´ ee 2008-2009

Auteur : Thierry Joly

D´ epartement de Formation

de 1

Cycle de Sciences Exactes

CHAPITRE III MI3 – Ann´ ee 2008/09

D´ ETERMINANTS

Plan du chapitre :

1 D´ eterminants dans R

: une approche g´ eom´ etrique

1.1 Mesure des parall´elotopes de Rⁿ (n63)

1.2 Orientation des bases de Rⁿ (n63) et d´eterminants 1.3 D´efinition formelle des d´eterminants dans Rⁿ

2 D´ eterminants dans un K-espace vectoriel (K = R ou C)

2.1 Unicit´e et d´efinition g´en´erale 2.2 Existence et calcul

2.3 D´eterminants et transposition 2.4 Op´erations sur les d´eterminants

3 D´ eterminant d’un endomorphisme

3.1 D´efinition et multiplicativit´e 3.2 Crit`ere d’inversibilit´e

3.3 Valeurs propres et polynˆome caract´eristique d’un endomorphisme

Annexe : Le d´ eterminant d’une matrice en une formule

CHAPITRE III MI3

D´ ETERMINANTS

1 D´ eterminants dans R

: une approche g´ eom´ etrique

1.1 Mesure des parall´ elotopes de R

(n 6 3)

Pour nvecteurs quelconquesv1, . . . , vn de l’espaceRⁿ (n63), notonsPv1,...,vn l’ensemble Pv₁,...,v_n={M ; ∃x1∈[0,1]. . .∃xn∈[0,1] −−−→OM =

Xn

i=1

xivi}.

Autrement dit,Pv1,...,vnest l’ensemble des points dont les coordonn´ees dans le rep`ere (O;v1, . . . , vn) sont toutes comprises entre 0 et 1.

• Si les vecteursv1, . . . , vnsont lin´eairement ind´ependants, autrement dit s’ils forment unebase deRⁿ, Pv1,...,vn est alors appel´eparall´elotope engendr´e par les vecteurs v1, . . . , vn.

• Sinon (i.e. lorsque les vecteursv1, . . . , vn sont li´es), nous dirons que Pv1,...,vn est un paral- l´elotope d´eg´en´er´e.

Parall´elotopes

dim nom repr´esentation bord mesure

1 segment O v1 2 points longueur (m)

2 parall´elogramme

O v1

v2 4 segments aire (m²)

3 parall´el´epip`ede

O v1

v2 v3 6 parall´elogrammes volume (m³)

Notons µ(v1, . . . , vn) la mesure du parall´elotopePv1,...,vn engendr´e par les vecteurs v1, . . . , vn

(c’est-`a-dire sa longueur, son aire ou son volume, selon la dimensionn). Clairement, cette mesure est nulle si et seulement siPv1,...,vn est d´eg´en´er´e (i.e. s’il s’agit d’un segment r´eduit `a un point,

d’un parall´elogramme “aplati” sur une droite ou encore d’un parall´el´epip`ede “aplati” dans un plan). Ainsi,µ(v1, . . . , vn) = 0 si et seulement si les vecteursv1, . . . , vn sont li´es.

Rassemblons d’autres propri´et´es intuitives de cette grandeur µ(v1, . . . , vn) :

• Sa valeur est inchang´ee si l’on rajoute `a l’un de ses argumentsvi un vecteurw appartenant au sous-espace engendr´e par ses autres argumentsvj (j6=i).

v1

O v2

w∈Vect(v₁) v2+w

v3

v2

O

v2+w

v₁ w∈

Vect(v1, v3)

Autrement dit, la grandeurµ(v1, . . . , vn) ne change pas si l’on rajoute `a l’un des arguments vi unecombinaison lin´eaire w=X

j6=i

kjvj quelconque des autres argumentsvj.

• Lorsque l’on multiplie l’un des argumentsvi par un r´eelpositif k, la grandeur µ(v1, . . . , vn) est elle-mˆeme multipli´ee park.

v1

v2

kv2

O

v3

v2

O v1 kv1

En r´esum´e, quelle que soit la dimensionn= 1,2,3, on a les propri´et´es suivantes : 1. µ(v1, . . . , vn) = 0 si et seulement si les vecteursv1, . . . , vn sont li´es.

2. Pour toute combinaison lin´eaireX

j6=i

kjvj des vecteursv1, . . . , vn autres quevi,

µ(. . . , vi+X

j6=i

kjvj, . . .) =µ(. . . , vi, . . .)

3. Pour tout argumentvi et tout r´eel k >0,

µ(. . . , k vi, . . .) =k µ(. . . , vi, . . .)

Notons que cette derni`ere relation ne s’´etend pas aux r´eels n´egatifs k, puisqu’alors son premier membre reste — par d´efinition — positif, tandis que son second membre devient n´egatif.

1.2 Orientation des bases de R

(n 6 3) et d´ eterminants

Un moyen simple d’´etendre la propri´et´e 3 ci-dessus aux r´eels n´egatifs k est d’affubler chaque mesure µ(v1, . . . , vn) 6= 0 d’un signe correspondant `a l’orientation de la base (v1, . . . , vn). (Le syst`eme (v1, . . . , vn) est bien unebasedeRⁿ lorsqueµ(v1, . . . , vn)6= 0, en vertu de la propri´et´e 1).

Intuitivement, deux bases (v1, . . . , vn) et (v⁰₁, . . . , v_n⁰) deRⁿ ont mˆeme orientation si l’on peut d´eformer continˆument les vecteursvi jusqu’`a les faire co¨ıncider avec les vecteurs v<sup>0</sup><sub>i</sub>, de sorte que (v1, . . . , vn) reste une base deR<sup>n</sup> tout au long de la d´eformation, autrement dit de telle sorte que le parall´elotopePv1,...,vn ne d´eg´en`ere `a aucun instant de la d´eformation.

Quelle que soit la dimensionn, on a les faits suivants :

• Si (v1, . . . , vn) est une base quelconque deRⁿ et (v₁⁰, . . . , v⁰_n) la base obtenue en rempla¸cant un seul de ses vecteurs vi par −vi, alors les bases (v1, . . . , vn) et (v₁⁰, . . . , v⁰_n) n’ont pas la mˆeme orientation.

• Toute base deRⁿa la mˆeme orientation que l’une de ces deux bases (v1, . . . , vn), (v⁰₁, . . . , v⁰_n).

Il en r´esulte que toutes les bases deRⁿ se r´epartissent selon exactement deux orientations. On a coutume d’appeler directe l’une des deux orientations possibles etindirecte l’autre. L’orientation directe est toujours d´efinie par une r`egle ad hoc (par exemple “dans le sens de l’´ecriture” pourR vu comme une ligne horizontale, “dans le sens inverse des aiguilles d’une montre” pourR<sup>2</sup>, selon la r`egle “des trois doigts” ou encore “du bonhomme d’Amp`ere” pourR<sup>3</sup>). C’est un fait notable que les notions d’orientations directe et indirecte ne peuvent avoir de d´efinition purement math´ematique, car il n’existe aucune propri´et´e math´ematique que poss`ederait une orientation et non l’autre.

D´eterminants dansRⁿ (n63). Soit B = (e1, . . . , en) une base quelconque de Rⁿ. On appelle d´eterminant des vecteurs v1, . . . , vn par rapport `a la base B, et l’on note det_B(v1, . . . , vn), le r´eel d´efini comme suit :

• Si les vecteursv₁, . . . , v_n sont li´es, alors : det_B(v₁, . . . , v_n) =µ(v₁, . . . , v_n) = 0.

• Sinon, (v1, . . . , vn) est une base de l’espace et :

– Le signe de det_B(v1, . . . , vn) est : + si (v1, . . . , vn) a mˆeme orientation que la baseB,

−sinon.

– La valeur absolue du r´eel det_B(v1, . . . , vn) est la mesureµ(v1, . . . , vn) du parall´elotope Pv1,...,vn engendr´e par les vecteurs v1, . . . , vn, en prenant comme unit´e la mesure du parall´elotope Pe1,...,en :

¯¯det_B(v1, . . . , vn)¯

¯=µ(v1, . . . , vn)6= 0.

Les propri´et´es des mesures µ(v1, . . . , vn) mentionn´ees plus haut entraˆınent : 1. det_B(v1, . . . , vn) = 0 si et seulement si les vecteursv1, . . . , vn sont li´es.

2. Pour toute combinaison lin´eaireX

j6=i

kjvj des vecteursv1, . . . , vn autres quevi, det_B(. . . , vi+X

j6=i

kjvj, . . .) = det_B(. . . , vi, . . .)

3. Pour tout argumentvi et tout r´eel k(´eventuellement n´egatif), det_B(. . . , k vi, . . .) =kdet_B(. . . , vi, . . .)

La propri´et´e 1 ci-dessus d´ecoule imm´ediatement de la propri´et´e 1 des mesures µ(v1, . . . , vn). Par ailleurs, une base (v₁, . . . , v_n) ne change pas d’orientation si l’on rajoute `a l’un des vecteurs v_i une combinaison lin´eaire w =P

j6=ikjvj quelconque des autres vecteurs vj. En effet, pour tout t ∈R, le syst`eme (. . . , vi+tw, . . .) est une base et l’application t7→(. . . , vi+tw, . . .) d´ecrit une transformation continue, au cours du tempst, permettant de passer de la base initiale (. . . , vi, . . .) (`a l’instant t= 0) `a la base (. . . , vi+w, . . .) (`a l’instant t= 1). Ainsi, la propri´et´e 2 ci-dessus se d´eduit de la propri´et´e 2 des mesuresµ(v1, . . . , vn). Enfin, lorsque l’on remplace l’un des vecteursvi

d’une base (v1, . . . , vn) park vi(k6= 0), cette base change d’orientation si et seulement sik <0, de sorte que la propri´et´e 3 ci-dessus se d´eduit `a son tour de la propri´et´e 3 des mesuresµ(v1, . . . , vn).

1.3 D´ efinition formelle des d´ eterminants dans R

Commen¸cons par d´eriver des propri´et´es 1, 2, 3 ci-dessus des d´eterminants d’autres propri´et´es alg´ebriques plus c´el`ebres.

En ne laissant varier qu’un seul argument vi ∈ Rⁿ de det_B(v1, . . . , vn) et en fixant tous les autres `a des valeurs (vectorielles) quelconques, on d´efinit une fonction partielle ϕ : Rⁿ →R. La propri´et´e 3 des d´eterminants entraˆıne alors pour toutv∈Rⁿ et tout r´eelk:

ϕ(k v) =k ϕ(v). (1)

• Supposons que lesn−1 vecteurs vj (j 6=i) fix´es dans la d´efinition de ϕsont lin´eairement ind´ependants. On peut alors choisiru∈Rⁿ de fa¸con `a ce que lesnvecteurs vj (j 6=i) et u soient lin´eairement ind´ependants. Notonsp(v) la projection d’un vecteurv∈R<sup>n</sup> quelconque sur la droite vectorielle engendr´e paru parall`element au sous-espace F engendr´e lesn−1 vecteurs fix´esvj :

O vj1

vj2

F u

p(v)

w∈F v

(n= 3)

La propri´et´e 2 des d´eterminants implique alors pour toutv∈Rⁿ :

ϕ(p(v)) =ϕ(v). (2)

En effet, pour toutv ∈Rⁿ, p(v) s’obtient en rajoutant `av un vecteurw deF, c’est-`a-dire une combinaison lin´eairew=P

j6=ikjvjdes vecteurs fix´esvj (j6=i). Par ailleurs, pour tous vecteursv, v⁰ deRⁿ, il existe des r´eels k, k⁰ tels que :

• p(v) =ku,

• p(v⁰) =k⁰u, et donc :

• p(v+v⁰) = (k+k⁰)u.

(3)

On d´eduit alors des relations (1), (2) et (3) :

ϕ(v+v⁰)⁽²⁾= ϕ(p(v+v⁰))⁽³⁾= ϕ((k+k⁰)u)⁽¹⁾= (k+k⁰)ϕ(u) =k ϕ(u) +k⁰ϕ(u)

(1)= ϕ(ku) +ϕ(k⁰u)⁽³⁾=ϕ(p(v)) +ϕ(p(v⁰))⁽²⁾= ϕ(v) +ϕ(v⁰).

• Supposons maintenant que lesn−1 vecteursvj (j6=i) fix´es dans la d´efinition deϕsont li´es.

Pour toutv∈Rⁿ, lesnvecteurs vj (j6=i) etv sont alors ´evidemment li´es et la propri´et´e 1 des d´eterminants entraˆıneϕ(v) = 0. Ainsi, on a ϕ(v) = 0 pour toutv∈Rⁿ, de sorte que la relationϕ(v+v⁰) =ϕ(v) +ϕ(v⁰) est encore v´erifi´ee dans ce cas.

Ainsi, pour tous vecteursv, v⁰ deRⁿ et tout r´eelk :

• ϕ(v+v⁰) =ϕ(v) +ϕ(v⁰),

• ϕ(k v) =k ϕ(v).

Rappelons qu’une application ϕv´erifiant ces deux relations est ditelin´eaire (cf 1^`ere ann´ee) et que lalin´earit´e d’une fonctionϕs’exprime de fa¸con ´equivalente par la seule relation :

ϕ(kv+v⁰) =kϕ(v) +ϕ(v⁰), ou encore, pour toute combinaison lin´eaire

Xm

j=1

kjxj de vecteursxj : ϕ

µX_m

j=1

kjxj

¶

= Xm

j=1

kjϕ(xj).

Toute application partielle de Rⁿ dans R obtenue en fixant arbitrairement n−1 arguments de det_B(v1, . . . , vn) est donc lin´eaire :

det_B³ . . . ,

Xm

j=1

kjxj, . . .´

= Xm

j=1

kjdet_B(. . . , xj, . . .).

On exprime ce fait en disant que l’application det_B : |Rⁿ× · · · ×{z Rⁿ}

narguments

→R est lin´eaire en chacun de ses narguments ou encore qu’elle estn-lin´eaire.

Indiquons encore deux propri´et´es ´evidentes de cette application det_B. La premi`ere est un cas particulier de la propri´et´e 1 vue plus haut : le d´eterminant s’annule chaque fois que deux de ses arguments sont ´egaux (car ses arguments sont alors ´evidemment li´es).

det_B(. . . , v, . . . , v, . . .) = 0

Une application v´erifiant cette propri´et´e est dite altern´ee. Enfin, de par le choix de l’unit´e de mesure fait, on a :

det_B(e1, . . . , en) = +µ(Pe1,...,en) = 1.

Dans la section suivante, nous d´emontrerons que ces trois derni`eres propri´et´es suffisent `a ca- ract´eriser l’application det_B. En d’autres termes, det_Bestla seuleapplication|Rⁿ× · · · ×{z Rⁿ}

narguments

→R qui soitn-lin´eaire, altern´ee et telle que det_B(e1, . . . , en) = 1.

Ce fait justifie le bien-fond´e de la d´efinition formelle suivante :

D´efinition SoitB= (e1, . . . , en) une base quelconque deRⁿ. On appelled´eterminant par rapport

`a la baseB, et l’on note det_B,l’applicationn-lin´eaire altern´ee det_B : |Rⁿ× · · · ×{z Rⁿ}

narguments

→R telle que det_B(e1, . . . , en) = 1.

Cette d´efinition — comme toutes les d´efinitions math´ematiques — r´eduit `a un ensemble minimal les propri´et´es de l’objet d´efini, au m´epris de l’intuition que l’on s’en fait. Un int´erˆet majeur de cette pratique math´ematique est de permettre la g´en´eralisation : remarquons que cette d´efinition ne fait pas plus mention de la restrictionn63 que la d´efinition debase deR<sup>n</sup> ou encore celle de parall´elotope. On peut donc l’appliquer `a toute dimensionn. Elle permet alors de d´efinir en retour pour toutnl’oriention d’une base deRⁿou la mesure d’un parall´elotope deRⁿ: l’orientation d’une base (v1, . . . , vn) deRⁿpar rapport `a une autre baseB= (e1, . . . , en) est le signe de det_B(v1, . . . , vn) et la mesure du parall´elotopePv1,...,vn est¯

¯det_B(v1, . . . , vn)¯

¯. Parall´elotopes

dim nom repr´esentation(s) bord mesure

0 point — 1

1 segment 2 points longueur (m)

2 parall´elogramme 4 segments aire (m²)

cavali`ere : projective :

3 parall´el´epip`ede 6 parall´elogrammes volume (m³)

4 parall´elotope

de dimension 4 8 parall´el´epip`edes mesure (m⁴)

...

n parall´elotope de dimensionn

2nparall´elotopes

de dimensionn−1 mesure (mⁿ) ...

2 D´ eterminants dans un K-espace vectoriel (K = R ou C)

Nous allons maintenant ´etudier les d´eterminants dans le cadre plus g´en´eral o`u l’ensemble des scalaires est indiff´eremmentRouC. Dans toute la suite,Kd´esignera l’un de ces deux ensembles.

2.1 Unicit´ e et d´ efinition g´ en´ erale

Commen¸cons par quelques propri´et´es des applicationsn-lin´eaires altern´ees : Lemme 1 Soitf une application n-lin´eaire altern´ee quelconque.

(i). La valeur prise parf reste inchang´ee lorsque l’on rajoute `a l’un de ses argumentsk fois un autre :

f(v1, . . . , vi, . . . , vn) =f(v1, . . . , vi+kvj, . . . , vn) (j 6=i).

(ii). f change de signe lorsque l’on ´echange deux de ses arguments :

f(v1, . . . , vi−1,v^↓j, vi+1, . . . , vj−1,v^↓i, vj+1, . . . , vn) =−f(v1, . . . , vn).

D´emonstration (i). En effet :

f(v1, . . . , vi+kvj, . . . , vj, . . . , vn) =f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn) +k f(v1, . . . , vj, . . . , vj, . . . , vn)

| {z }

=f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn). = 0 (ii). On applique (i) trois fois de suite :

f(. . . , vi, . . . , vj, . . .)=¹ f(. . . , vi, . . . , vj−vi, . . .)=² f(. . . , vi+ (vj−vi), . . . , vj−vi, . . .)

=f(. . . , vj, . . . , vj−vi, . . .)=³ f(. . . , vj, . . . ,−vi, . . .) =−f(. . . , vj, . . . , vi, . . .).

¤

Th´eor`eme 2 (Unicit´e) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, (e1, . . . , en) une base quelconque de cet espace E etf, g deux applications n-lin´eaires altern´ees de |E× · · · ×{z E}

narguments

dans R.

Si f(e1, . . . , en) =g(e1, . . . , en), alors f =g.

D´emonstration On ´etablit la relationf(v1, . . . , vn) =g(v1, . . . , vn) par r´ecurrence sur le nombre pd’argumentsvi qui n’appartiennent pas `a{e1, . . . , en}.

• Dans le cas p = 0, tous les arguments vi sont des vecteurs de la base (e1, . . . , en). Si deux d’entre eux sont ´egaux, alors f(v1, . . . , vn) = 0 = g(v1, . . . , vn). Sinon, (v1, . . . , vn) n’est autre que la base (e1, . . . , en) `a l’ordre des vecteurs pr`es ; on peut alors ramener la suite d’arguments (v1, . . . , vn) `a (e1, . . . , en) par un certain nombre k d’´echanges successifs d’arguments. En appliquantkfois de suite le lemme 1 (ii) `a cette s´equence d’´echanges, on obtient : f(v1, . . . , vn) = −f(. . . , vj, . . . , vi, . . .) = . . . = (−1)^kf(e1, . . . , en) et de mˆeme : g(v1, . . . , vn) = (−1)^kg(e1, . . . , en), d’o`uf(v1, . . . , vn) =g(v1, . . . , vn) puisque par hypoth`ese f(e1, . . . , en) =g(e1, . . . , en).

• Supposons la relation ´etablie lorsqueparguments ne sont pas des vecteurs de{e1, . . . , en}.

Pour toute suite d’arguments (v1, . . . , vn) avec exactementp+ 1 vecteursvi ∈ {e/ 1, . . . , en}, soitv_k =P_n

i=1x_ie_i l’un de ces p+ 1 vecteurs ; en ´ecrivant (v₁, . . . , v_n) = (. . . , v_k, . . .), on a alors : f(. . . , vk, . . .) =f(. . . ,P_n

i=1xiei, . . .) =P_n

i=1f(. . . , xiei, . . .) =P_n

i=1xif(. . . , ei, . . .) et de mˆeme : g(. . . , vk, . . .) = P_n

i=1xig(. . . , ei, . . .). Comme par hypoth`ese de r´ecurrence, f(. . . , ei, . . .) =g(. . . , ei, . . .) pour touti, il s’ensuit : f(. . . , vk, . . .) =g(. . . , vk, . . .).

¤

En particulier, si (e1, . . . , en) est une base d’un K-espace vectoriel E et si f et g sont deux applications n-lin´eaires altern´ees deEⁿ dansKtelles que f(e1, . . . , en) =g(e1, . . . , en) = 1, alors f =g ; autrement dit, il existeau plus une application n-lin´eaire altern´ee f : Eⁿ→R telle que f(e1, . . . , en) = 1. Cela justifie la d´efinition suivante :

D´efinition SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnetB= (e1, . . . , en) une base quelconque de E. On appelled´eterminant par rapport `a la base B, et l’on note det_B, l’application n-lin´eaire altern´ee det_B : Eⁿ→K telle que det_B(e1, . . . , en) = 1.

2.2 Existence et calcul

Il reste `a ´etablir que cette application det_B existe, ce qui peut sembler ´evident lorsqueK=R et n63, mais l’est beaucoup moins dans le cas g´en´eral.

Th´eor`eme 3 (Existence) Pour tout K-espace vectoriel E et toute baseB = (e1, . . . , en) de E, l’application det_B : Eⁿ →K existe bien. De plus, si n>2, B⁰= (e1, . . . , ei−1, ei+1, en)et siF est le sous-espace de dimension n−1 dont une base est B⁰, alors cette application se laisse d´efinir

`a partir de l’application det_B0 : Fⁿ⁻¹→K par la relation : det_B(v1, . . . , vn) =

Xn

j=1

(−1)^i+jf(vj) det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn)),

o`u p : E →F d´esigne le projecteur surF parall`element au vecteurei etf : E→K l’application qui `a tout vecteurv=x1e1+. . .+xnen deE associe sa i<sup>`eme</sup> coordonn´ee xi dans la base B.

D´emonstration D´emontrons l’existence de l’application det_B : Eⁿ→K par r´ecurrence sur la dimensionndeE.

Sin= 1, alors l’applicationϕ : E→K qui `a tout vecteur v=x1e1 deE associe son unique coordonn´eex1est bien lin´eaire (donc 1-lin´eaire), trivialement altern´ee (puisque la situation o`u elle prend deux arguments ´egaux ne risque pas de se produire) et telle que ϕ(e1) = 1, d’o`uϕ= det_B et l’existence de det_B.

Si n > 2, d´efinissons B⁰, F, p et f comme dans l’´enonc´e du th´eor`eme. Par hypoth`ese de r´ecurrence, l’application d´eterminant det_B0 : Fⁿ⁻¹→K existe bien. Il nous reste `a prouver que l’applicationϕ : Eⁿ→K d´efinie par :

ϕ(v1, . . . , vn) = Xn

j=1

(−1)^i+jf(vj) det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn))

est bien n-lin´eaire, altern´ee et telle que ϕ(e1, . . . , en) = 1 ; cela ´etablira : ϕ = det_B et donc l’existence de det_B.

• L’applicationϕj : Eⁿ→K d´efinie par :

ϕj(v1, . . . , vn) =f(vj) det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn)) est lin´eaire en son argumentvj ; en effet, cela r´esulte de la lin´earit´e de l’applicationf :

ϕj

µ . . . ,

Xm

r=1

krxr, . . .

¶

= f

µX_m

r=1

krxr

¶

det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn))

↑

j^`eme argument =

µXm

r=1

krf(xr)

¶

det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn))

= Xm

r=1

krf(xr) det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn))

= Xm

r=1

krϕj(. . . , xr, . . .).

Par ailleurs, pour toutj⁰6=j, la lin´earit´e du projecteurpet la (n−1)-lin´earit´e de det_B0 entraˆınent queϕj est lin´eaire en sonj^0`eme argument :

ϕj

µ . . . ,

Xm

r=1

krxr, . . .

¶

= f(vj) det_B0

µ . . . , p

µX_m

r=1

krxr

¶ , . . .

¶

↑

j^0`emeargument = f(vj) det_B0

µ . . . ,

Xm

r=1

krp(xr), . . .

¶

= f(vj) Xm

r=1

krdet_B0(. . . , p(xr), . . .)

= Xm

r=1

krf(vj) det_B0(. . . , p(xr), . . .) = Xm

r=1

krϕj(. . . , xr, . . .).

Ainsi, l’application ϕj est n-lin´eaire, et ce pour tout j ∈ {1, . . . , n}. On en d´eduit facilement la n-lin´earit´e deϕ:

ϕ(. . . , kv+v⁰, . . .) = Xn

j=1

(−1)^i+jϕ_j(. . . , kv+v⁰, . . .)

= Xn

j=1

(−1)^i+j³

k ϕj(. . . , v, . . .) +ϕj(. . . , v⁰, . . .)´

= k Xn

j=1

(−1)^i+jϕj(. . . , v, . . .) + Xn

j=1

(−1)^i+jϕj(. . . , v⁰, . . .)

= k ϕ(. . . , v, . . .) +ϕ(. . . , v⁰, . . .).

• Montrons `a pr´esent que l’applicationϕest altern´ee, i.e. :

r < r⁰, vr=vr⁰ =⇒ ϕ(. . . , vr, . . . , vr⁰, . . .) = 0,

par r´ecurrence sur l’entier r⁰−r, autrement dit l’´eloignement des arguments ´egauxvret vr⁰. – Sir⁰−r= 1, alors ces arguments ´egaux sont les arguments successifsvretvr+1. Dans ce cas,

pour tout indicej autre queretr+ 1, les vecteurs identiquesp(vr) etp(vr+1) apparaissent dans l’expression :

ϕj(v1, . . . , vn) =f(vj) det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn)) ;

comme l’application det_B0 est altern´ee, il s’ensuit ϕj(v1, . . . , vn) = 0 pour toutj 6=r, r+1, et donc

ϕ(v1, . . . , vn) = (−1)^i+rϕr(v1, . . . , vn) + (−1)^i+r+1ϕr+1(v1, . . . , vn)

= (−1)^i+r¡

ϕ_r(v₁, . . . , v_n)−ϕ_r+1(v₁, . . . , v_n)¢ . De plus, l’´egalit´evr=vr+1 entraˆınef(vr) =f(vr+1) et

det_B0(p(v1), . . . , p(vr−1), p(vr+1), . . . , p(vn)) = det_B0(p(v1), . . . , p(vr), p(vr+2), . . . , p(vn)), d’o`u : ϕr(v1, . . . , vn) =ϕr+1(v1, . . . , vn), et par cons´equent : ϕ(v1, . . . , vn) = 0.

– Sir⁰−r>2, alors l’hypoth`ese de r´ecurrence (pour l’´eloignement r⁰−r−1) entraˆıne : ϕ(. . . , vr⁰−1, . . . , vr⁰−1, vr⁰, . . .) =ϕ(. . . , vr+vr⁰−1, . . . , vr+vr⁰−1, vr⁰, . . .) = 0.

↑ r^`emeargument

↑ r^`emeargument

On en d´eduit `a l’aide de lan-lin´earit´e deϕ(aux ´etapes (∗)) : ϕ(. . . , vr, . . . , vr<sup>0</sup>−1, vr<sup>0</sup>, . . .) <sup>r`emeargument</sup>

↓

= ϕ(. . . , vr, . . . , vr⁰−1, vr⁰, . . .) +ϕ(. . . , vr⁰−1, . . . , vr⁰−1, vr⁰, . . .)

(∗)= ϕ(. . . , vr+vr⁰−1, . . . , vr⁰−1, vr⁰, . . .)

(∗)= −ϕ(. . . , vr+vr⁰−1, . . . , vr, vr⁰, . . .) +ϕ(. . . , vr+vr⁰−1, . . . , vr+vr⁰−1, vr⁰, . . .)

= −ϕ(. . . , vr+vr⁰−1, . . . , vr, vr⁰, . . .). _r`emeargument^↑

Enfin, l’´egalit´evr = vr⁰ et le cas r⁰−r= 1 trait´e plus haut permettent de conclure que le dernier membre est nul, d’o`uϕ(. . . , vr, . . . , vr⁰, . . .) = 0.

• Etablissons enfin la relation´ ϕ(e1, . . . , en) = 1. Pour tout indice j 6= i, les d´efinitions de l’applicationf et du projecteurpentraˆınent imm´ediatementf(ej) = 0 etp(ej) =ej. Il s’ensuit :

ϕ(e1, . . . , en) = Xn

j=1

(−1)^i+jf(ej) det_B0(p(e1), . . . , p(ej−1), p(ej+1), . . . , p(en)),

= (−1)ⁱ⁺ⁱf(ei) det_B0(p(e1), . . . , p(ei−1), p(ei+1), . . . , p(en)),

= f(ei) det_B0(e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en).

Comme par d´efinition def et de det_B0, on a : f(ei) = det_B0(e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en) = 1, l’´egalit´e ϕ(e1, . . . , en) = 1 s’en d´eduit imm´ediatement.

¤ A partir de ces th´eor`emes d’existence et d’unicit´e, nous pouvons enfin ´etablir en toute g´en´eralit´e` la toute premi`ere propri´et´e des d´eterminants :

Proposition 4 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n muni d’une base B. On a pour n vecteurs quelconques v1, . . . , vn deE :

v1, . . . , vn li´es ⇐⇒ det_B(v1, . . . , vn) = 0.

D´emonstration • Si (v1, . . . , vn) est un syst`eme li´e, alors il existe des scalaires non tous nuls ki (16i6n) tels que : P

ikivi = 0 et l’un des vecteurs vi est combinaison lin´eaire des autres.

En effet, si mettons ki 6= 0, alors : kivi = −P

j6=ikjvj et en posant k_j⁰ =−kj/ki (16j6n) : v_i=P

j6=ik_j⁰v_j. Il s’ensuit :

det_B(v1, . . . , vn) = det_B³

v1, . . . , vi−1,X

j6=i

k⁰_jvj, vi+1, . . . , vn

´

=X

j6=i

k⁰_jdet_B(v1, . . . , vi−1, vj, vi+1, . . . , vn) = 0,

puisque dans le d´eterminant de chaque terme de la derni`ere somme, le vecteurvj est r´ep´et´e.

• Si en revancheB⁰ = (v1, . . . , vn) est un syst`eme libre, c’est alors une base de E et le th´eor`eme d’existence nous permet de consid´erer l’application det_B0. L’application f : Eⁿ→R d´efinie par :

f(x1, . . . , xn) = det_B0(e1, . . . , en) det_B(x1, . . . , xn)

est dans ce cas une autre applicationn-lin´eaire altern´ee telle que f(e1, . . . , en) = det_B0(e1, . . . , en), d’o`u, par le th´eor`eme d’unicit´e : f = det_B0. En faisant (x1, . . . , xn) = (v1, . . . , vn) dans la d´efinition def, on obtient alors :

det_B0(e1, . . . , en) det_B(v1, . . . , vn) =f(v1, . . . , vn) = det_B0(v1, . . . , vn) = 1, ce qui implique det_B(v1, . . . , vn)6= 0.

¤

Calcul des d´eterminants

La relation donn´ee dans l’´enonc´e du th´eor`eme d’existence fournit un proc´ed´e de calcul effectif des d´eterminants, puisqu’elle les ram`ene `a des d´eterminants dans un espace de dimension inf´erieure : sachant calculer les d´eterminants dans un espace de dimension 1, on peut l’utiliser pour calculer les d´eterminants dans les espaces de dimension 2, puis l’utiliser encore pour le calcul des d´eterminants en dimension 3 et ainsi de suite.

Afin de calculer concr`etement le scalaire det_B(v1, . . . , vn) pour des vecteurs donn´es v1, . . . , vn

d’un K-espace vectoriel de baseB = (e1, . . . , en), on ´ecrit en colonnes les coordonn´ees de chacun de ces vecteurs dans la baseB :



 a11

... a_n1



,



 a12

... a_n2



, . . .



 a1n

... a_nn



,

o`u v1= Xn

i=1

ai1ei, v2= Xn

i=1

ai2ei, . . . , vn = Xn

i=1

ainei, puis on rassemble ces colonnes entre deux traits verticaux pour repr´esenter le d´eterminant `a calculer :

det_B(v1, . . . , vn) =

¯¯

¯¯

¯¯

¯

a11 a12 . . . a1n

... ... ... an1 an2 . . . ann

¯¯

¯¯

¯¯

¯ .

On l’appelle alors aussid´eterminant de la matrice carr´ee n×n:

A =





a11 . . . a1n

... ... an1 . . . ann



,

et on le note detA.

Transcrivons maintenant la relation du th´eor`eme d’existence dans cette notation matricielle : la projection de vr =P

qaq,req sur le sous-espace F engendr´e par B⁰ = (e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en) parall`element au vecteur ei est le vecteurp(vr) =P

q6=iaq,req, dont les coordonn´ees dans la base

B⁰ s’´ecrivent : 







 a1,r

... ai−1,r

ai+1,r

... an,r









 .

On en d´eduit :

det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn)) =

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯

a1,1 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1,n

... ... ... ...

ai−1,1. . . ai−1,j−1 ai−1,j+1. . . ai−1,n

ai+1,1. . . ai+1,j−1 ai+1,j+1. . . ai+1,n

... ... ... ...

an,1 . . . an,j−1 a1,j+1 . . . a1,n

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯ .

Ainsi, det(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn)) est le d´eterminant de la matrice obtenue en rayant lai^{`eme</sup> ligne et laj<sup>`eme} colonne de la matriceA:















a1,1 . . . a1,j−1 a1,j a1,j+1 . . . a1,n

... ... ... ... ...

ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 . . . ai−1,n

ai,1 . . . ai,j−1 ai,j ai,j+1 . . . ai,n

ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j ai+1,j+1 . . . ai+1,n

... ... ... ... ...

an,1 . . . an,j−1 an,j a1,j+1 . . . a1,n















Comme cette manipulation sera fr´equente, on adopte dans toute la suite la notation suivante : Notation Pour toute matrice carr´ee n×n A et tous i, j ∈ {1, . . . , n}, on noteAij la matrice carr´ee (n−1)×(n−1) obtenue `a partir deAen supprimant sai<sup>`eme</sup> ligne et saj^`eme colonne.

On a donc : det(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn)) = detAij. Par ailleurs, la i^`eme coor- donn´ee devj dans la baseB= (e1, . . . , en) estf(vj) =aij, de sorte que la relation :

det_B(v1, . . . , vn) = Xn

j=1

(−1)^i+jf(vj) det_B0(p(v1), . . . , p(vj−1), p(vj+1), . . . , p(vn)), se traduit par :

detA= Xn

j=1

(−1)^i+jaijdetAij.

Cette nouvelle forme de la relation est appel´eeformule de d´eveloppement selon la i^`eme ligne.

A des fins d’utilisation pratique, on peut l’exprimer plus na¨ıvement par :` detA= ±ai1detAi1±ai2detAi2±. . .±aindetAin,

o`u les signes plac´es devant les coefficients aij sont d´etermin´es comme sur un damier par leur position dans la matrice :

A=













+ − + − . . . .

− + − + . . . . + − + − . . . .

− + − + . . . . ... ... ... ... . ..

... ... ... ... . ..













(Attention : commencer par un signe +en haut `a gauche ou en bas `a droite.) L’importance de cette formule motive la terminologie suivante :

D´efinition SoitA= (aij)_16j6n¹⁶ⁱ⁶ⁿune matrice carr´ee quelconque.

• On appellemineur associ´e au coefficientaij le d´eterminant detAij.

• On appellecofacteur du coefficientaij le scalaire (−1)^i+jdetAij.

• On appellecomatrice de Aet l’on note ComA la matrice (cij)_16j6n¹⁶ⁱ⁶ⁿ, o`ucij est le cofacteur du coefficientaij deA.

D´eterminants d’ordre 1.

Comme remarqu´e dans la preuve du th´eor`eme d’existence, siE est un espace de dimension 1, alors le d´eterminant det<sub>B</sub>(v) d’un vecteur v∈E par rapport `a une baseB= (e1) deE est son unique coordonn´ee dans cette base. Il s’ensuit que le d´eterminant d’une matrice 1×1 :

A=

³ a11

´

est son unique coefficient : detA = a11. (La notation

¯¯

¯a11

¯¯

¯ de ce d´eterminant est fortement d´econseill´ee pour une raison ´evidente.)

D´eterminants d’ordre 2.

En d´eveloppant selon la premi`ere ligne le d´eterminant d’une matrice :

A=

µa11 a12

a21 a22

¶ ,

on obtient : detA= +a₁₁detA₁₁−a₁₂detA₁₂=a₁₁a₂₂−a₁₂a₂₁. On retrouve ainsi la fameuse r`egle “du produit en croix”. (En d´eveloppant detAselon la seconde ligne, on obtient naturellement le mˆeme r´esultat : detA= −a21detA21+a22detA22=−a21a12+a22a11.)

D´eterminants d’ordre 3.

Le d´eveloppement selon la premi`ere ligne du d´eterminant d’une matrice :

A=



a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33





donne :

detA =

¯¯

¯¯

¯¯

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

¯¯

¯¯

¯¯=a11

¯¯

¯¯ a22 a23

a32 a33

¯¯

¯¯−a12

¯¯

¯¯ a21 a23

a31 a33

¯¯

¯¯+a13

¯¯

¯¯ a21 a22

a31 a32

¯¯

¯¯

=a11

³

a22a33−a23a32

´

−a12

³

a21a33−a23a31

´ +a13

³

a21a32−a22a31

´

=a11a22a33−a11a23a32+a12a23a31−a12a21a33+a13a21a32−a13a22a31.

Les 6 termes de cette derni`ere expression peuvent ˆetre retrouv´es en r´ep´etant les deux premi`eres colonnes de la matrice A`a sa suite, puis en regroupant les coefficients selon des diagonales de la fa¸con suivante :

+ + +

a11

JJ JJ a12

JJ JJ a13

JJ JJ tttt a11

tttt a12

tttt a21 a22

JJ JJ tttt a23

JJ JJ tttt a21

JJ JJ tttt a22

a31 a32 a33 a31 a32

− − −

Cette r`egle, dite “de Sarrus”, semble g´en´eraliser la r`egle du produit en croix des d´eterminants d’ordre 2, mais n’a pas d’´equivalent aux ordres sup´erieurs. Par ailleurs, elle est inutilement coˆuteuse en calculs, puisqu’elle n´ecessite 12 multiplications et 5 additions, tandis que le calcul direct du d´eveloppement selon une ligne ne requiert que 9 multiplications et 5 additions (cf plus haut).

La r`egle de Sarrus est un bel exemple de r`egle esth´etique mais parfaitement inutile d’un point de vue calculatoire. La th´eorie des d´eterminants en fourmille. Indiquons un autre exemple c´el`ebre