Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Tronc commun, semestre 3
4. D´eterminants
Exercice1 — SoitA=
2 −2
1 4
etB =
3 4 1 2
. Calculer les d´eterminants deA,B,AB,BAet A+B.
V´erifier que det(AB) = det(BA) = det(A) det(B) et que det(A+B)6= det(A) + det(B).
Exercice2 — SoitA= (aij) et B= (bij) deux matrices carr´ees de taille 2. CalculerAB et BA. V´erifier que det(AB) = det(BA) = det(A) det(B).
Exercice3 — Calculer
det
3 0 1
2 4 2
1 2 −1
par les deux m´ethodes suivantes :
(1) en d´eveloppant le long de la ligne ou la colonne de votre choix, (2) apr`es un pivot de Gauss.
Exercice4 — Calculer les d´eterminants des matrices suivantes (m´ethode au choix).
A=
1 0 3
2 0 4
3 −1 1
B =
2 3 1 2 5 1 4 6 2
C=
0 a 0 0 0 b c 0 0
D=
1 0 3 0 2 4 0 0 1
E=
2 0 0 2 5 0 4 6 2
F =
0 0 3 0 4 1 5 1 0
G=
x x+ 1 x+ 2 x+ 1 x+ 2 x+ 3 x+ 2 x+ 3 x+ 4
H =
1 −1 4 −2
0 2 2 3
1 5 1 0
3 0 0 0
J =
0 0 0 4
0 0 2 −1
0 3 2 1
−5 4 −1 1
K=
a 0 b 0
0 a 0 b
c 0 d 0
0 c 0 d
* Exercice5 —
(1) Montrer que pour toute matrice carr´eeA le nombre det(AtA) est positif ou nul.
(2) Soit A une matrice antisym´etrique (c’est-`a-dire telle que tA = −A) de taille impaire. Montrer que detA= 0.
Exercice6 — Montrer que pour toute matrice inversibleBet pour toute matriceAon a det(B−1AB) = det(A).
Exercice7 — On consid`ere la matrice
A=
2 0 1
1 2 0
2 −1 2
.
(1) Calculer la matrice des cofacteurs (ou comatrice) deAet le d´eterminant deA.
(2) En d´eduire queA est inversible et d´eterminer son inverse.
1
(3) En d´eduire l’ensemble des solutions de chacun des syst`emes suivants.
2x+z = 0 x+ 2y = 0 2x−y+ 2z = 0
2x+z = 0 x+ 2y = 1 2x−y+ 2z = 1 Exercice8 — Mˆemes questions qu’`a l’exercice pr´ec´edent avec la matrice
B=
1 4 1
−1 0 1
0 2 3
.
Exercice9 — Pour quelles valeurs du r´eel λles matrices suivantes sont-elles inversibles ? A=
1−λ 0 3
0 2−λ 4
0 0 1−λ
B=
2−λ 1 2
4 2−λ 4
2 1 2−λ
Exercice10 — Calculer
∆1= det
1 +a 1 1
1 1 +b 1
1 1 1
, ∆2= det
1 +a 1 0
1 1 +b 0
1 1 c
.
En d´eduire
∆3= det
1 +a 1 1
1 1 +b 1
1 1 1 +c
.
* Exercice11 —(Cet exercice n´ecessite des connaissances sur les polynˆomes.) On consid`ere le d´eterminant
D(x) = det
1 a a2 a3 1 b b2 b3 1 c c2 c3 1 x x2 x3
o`ua,bet csont trois r´eels distincts.
(1) Montrer queD(x) est un polynˆome de degr´e au plus 3 en x.
(2) Montrer queD(a) =D(b) =D(c) = 0. En d´eduire qu’il existe une constantektelle que pour toutxon aitD(x) =k(x−a)(x−b)(x−c).
(3) Montrer que pour tout xon aD(x) = (a−b)(a−c)(b−c)(x−a)(x−b)(x−c).
* Exercice12 — Calculer
det
1 sin2α cos2α 1 sin2β cos2β 1 sin2γ cos2γ
, det
cosα −sinα cosβ −sinβ sinα cosα sinβ cosβ cosθ −sinθ cosϕ −sinϕ sinθ cosθ sinϕ cosϕ
.
* Exercice13 — SoitAune matricem×m,Bune matricem×netCune matricen×n. On forme la matrice triangulaire par blocs
M =
A B
0 C
. Montrer que det(M) = det(A) det(C).
Indication : proc´eder par r´ecurrence surm.
