Math´ematiques 3 TD 6 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020
TD 6 – D´ eterminants et r´ eduction d’endomorphismes
Exercice 1. Calculs de d´eterminants.
Calculer les d´eterminants des matrices suivantes :
1.
11 22 33 44 55 66 77 88 99
2.
11 22 33 0 55 66 77 88 99
3.
1 −2 3
4 5 6
1 2 3
4.
1 2 1 2
2 4 2 −1
−1 6 −1 6
1 8 3 2
5.
2 5 −3 2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
Exercice 2. Calculs avec param`etres.
Calculer, pour tousa, b, c∈Cet sans d´evelopper, les d´eterminants des matrices suivantes.
1.
a−1 a−b
1 b
2.
1 +a a a
b 1 +b b
c c 1 +c
3.
a−b−c 2a 2a
2b b−c−a 2b
2c 2c c−a−b
4.
a2+b2 ab (a−b)2 c2+b2 cb (c−b)2 a2+c2 ac (a−c)2
Exercice 3. D´eterminant de Vandermonde.
Soit n>2 et α1, . . . , αn∈Ret
V(α, . . . , αn) =
1 1 . . . 1 α1 α2 . . . αn
α21 α22 . . . α2n
... ... ...
αn−11 αn−12 . . . αn−1n .
Le but de cet exercice est de montrer que
V(α1, . . . , αn) = Y
16i<j6n
(αj−αi).
1. Montrer la formule pour n= 2.
2. Soit n>3. Pourx∈R on poseP(x) =V(α1, . . . , αn−1, x). Montrer queP est un polynˆome de degr´e n−1 et de coefficient dominant V(α1, . . . , αn−1).
3. Calculer les racines de P et en d´eduire un factorisation deP. 4. Montrer la formule par r´ecurrence surn.
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Math´ematiques 3 TD 6 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 Exercice 4. Inversibilit´e et rang d’une matrice.
1. ´Etudier, suivant la valeur du param`etre a∈R, l’inversibilit´e et le rang des matrices suivantes.
A=
a −1 0 −1
−1 a −1 0
0 −1 a −1
−1 0 −1 a
et B =
0 a a a2−a
1 a−1 2a−1 a2−a
0 a a 0
1 a 3a−1 0
.
2. Trouver, en fonction de a, une base de l’espace vectoriel engendr´e par les colonnes des matrices A etB.
Exercice 5. Matrice d’un endomorphisme et changement de base.
Soit f l’endomorphisme deR3 d´efini par la formule :
∀ x, y, z∈R f(x, y, z) = (2y+z, x−y−z,2x−z).
1. ´Ecrire la matrice Ade f dans la base canonique de R3. Calculer le d´eterminant deA.
Quel est le rang de f?
2. On poseu= (1,0,1), v= (1,−1,2) et w= (−1,1,1). Montrer que (u, v, w) est une base de R3. Ecrire la matrice´ B de f dans cette base.
3. Donner une matrice inversibleP ∈GL3(R) telle que P−1AP =B. CalculerP−1 et v´erifier la formule P−1AP =B.
Exercice 6. Un premier exemple de r´eduction.
Soit f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est A=
−3 2 −2
4 −1 2
8 −4 5
.
1. Calculer, pour toutλ∈R, le d´eterminant de la matriceA−λI3.
2. Pour quelles valeurs de λ∈R l’endomorphismef−λid est-il inversible ?
3. Trouver une base de Ker(f −id) et une base de Ker(f + id). Quelles sont les dimensions de ces sous-espaces ? Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deR3.
4. Quelle est la dimension de Im(f + id) ? Donner une base de ce sous-espace et montrer que R3= Ker(f + id)⊕Im(f + id).
5. Ecrire la matrice def dans une base adapt´ee `a la d´ecomposition R3= Ker(f −id)⊕Ker(f+ id).
Exercice 7. Un deuxi`eme.
Soit f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est
12 11 5
−10 −9 −4
−6 −6 −3
. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique de f.
2. Montrer qu’il existe une base deR3 form´ee de vecteurs propres de f.
3. Soit (e1, e2, e3) une base deR3 form´ee de vecteurs propres def. Posonsv=e1+e2+e3. Montrer que (v, f(v), f2(v)) est une base deR3. Ecrire la matrice de f dans cette base.
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Math´ematiques 3 TD 6 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 4. Quel est le rang de f?
5. Trouver une matrice inversible P ∈GL3(R) telle queP−1AP est diagonale.
Exercice 8. Un exemple o`uK=C.
Soit f l’endomorphisme deC3 dont la matrice dans la base canonique est
4 −5 7 1 −4 9
−4 0 5
. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique de f.
2. Montrer que l’endomorphismef est diagonalisable surC. Exercice 9. Un dernier exemple avecK=Rpour la route.
Soit f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est
0 5 −2
0 −7 3
−1 −16 7
.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique de f et dresser son tableau de variation.
2. Montrer quef est diagonalisable sur R. Exercice 10. Matrice circulante.
Soit E unC-espace vectoriel de dimension 4. Soit (e1, e2, e3, e4) une base deC. On notef l’endomor- phisme deE dont la matrice dans cette base est
A=
0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0
.
1. Calculer les valeurs propres def.
2. Montrer qu’il existe une base de E form´ee de vecteurs propres de f, et ´ecrire la matrice de f dans cette base.
3. CalculerAn pour toutn∈N.
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