D´eterminants Chap35

D´ eterminants

1 Applications multilin´ eaires

1.1 Applications p-lin´eaires

D´efinition. SoitE etF deuxK-espaces vectoriels, etpP N. Une application f : E^p Ñ F

px₁, . . . , x_pq ÞÑ fpx₁, . . . , x_pq est dite p-lin´eaire si et seulement si elle est lin´eaire par rapport `a chacune de ses variables, c’est-`a-dire :

@iP t1, . . . , pu, @x1, . . . , xi1, xi 1, . . . , xp PE,

E Ñ F

x ÞÑ fpx1, . . . , xi1, x, xi 1, . . . , xpq est lin´eaire.

Lorsque F K, on parle deforme p-lin´eaire.

On noteLppE, Fq l’ensemble des applicationsp-lin´eaires de E^p dansF. Proposition. LppE, Fq est un sous-espace vectoriel de F^Ep.

Exemple.

1.2 Applications p-lin´eaires sym´etriques

D´efinition. Une application p-lin´eaire deE^p dansF est ditesym´etriquesi et seulement si elle est invariante lorsque l’on ´echange deux variables :

@i, j P t1, . . . , pu avecij, @x1, . . . , xp PE :

fp. . . , xi, . . . , xj, . . .q fp. . . , xj, . . . , xi, . . .q

Proposition. Soit f une applicationp-lin´eaire sym´etrique de E^p dans F. Alors @x1, . . . , xp :

@σ PS_p, fpx_σp1q, . . . , x_σppqq fpx1, . . . , xpq

Exemple.

Propri´et´e. L’ensemble des applications p-lin´eaires sym´etriques de E^p dans F est un sous-espace vectoriel de LppE, Fq.

1.3 Applications p-lin´eaires altern´ees

D´efinition. Une applicationp-lin´eaire de E^p dans F est dite altern´ee si et seulement si elle s’annule lorsque deux variables sont ´egales :

@i, j P t1, . . . , pu avecij, @x₁, . . . , x_p PE :

x_i x_j ùñ fp. . . , x_i, . . . , x_i, . . .q 0

D´efinition.Une applicationp-lin´eaire deE^p dansF est diteantisym´etriquesi et seulement si elle est chang´ee en son oppos´ee lorsque l’on ´echange deux variables :

@i, j P t1, . . . , pu avecij, @x1, . . . , xp PE :

fp. . . , xi, . . . , xj, . . .q fp. . . , xj, . . . , xi, . . .q

Proposition. Toute applicationp-lin´eaire antisym´etrique est ´evidemment altern´ee.

Proposition. Toute applicationp-lin´eaire altern´ee est antisym´etrique.

Proposition. Sif est une application p-lin´eaire altern´ee, alors :

@σ PS_p, fpx_σp1q, . . . , x_σppqq εpσqfpx₁, . . . , x_pq Exemple.

Proposition. L’ensemble des applications p-lin´eaires altern´ees de E^p dans F est un sous-espace vectoriel de LppE, Fq.

1.4 Image d’une famille li´ee Th´eor`eme.

f p-lin´eaire altern´ee etpx₁, . . . , x_pqli´ee ñfpx₁, . . . , x_pq 0 Corollaire. Sif est une application p-lin´eaire altern´ee,

fpx1, . . . , xpq 0ñpx1, . . . , xpq libre

2 D´ eterminant d’une famille de vecteurs dans une base

2.1 Introduction : cas de la dimension 2

Construction. SoitEunK-espace vectoriel de dimension2,B pe₁, e₂qune base deEetf une forme bilin´eaire altern´ee. Soitx ety deux vecteurs deE, de coordonn´ees dansB ^x_x¹₂

et ^y_y¹

2

respectivement.

fpx, yq fpx1e1 x2e2, y1e1 y2e2q

x₁y₁fpe₁, e₁q x₁y₂fpe₁, e₂q x₂y₁fpe₂, e₁q x₂y₂fpe₂, e₂q px₁y₂x₂y₁qfpe₁, e₂q

en utilisant la bilin´earit´e et le caract`ere altern´e def.

Ainsi f est enti`erement d´etermin´ee par sa valeur en pe₁, e₂q.

D´efinition. On appelled´eterminant de la famille px, yq dans la base pe₁, e₂ql’expression : x₁y₂x₂y₁

qui correspond `a la forme bilin´eaire altern´ee telle que fpe1, e2q 1.

2.2 Introduction : cas de la dimension 3

Construction. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, B pe₁, e₂, e₃q une base de E et f une forme trilin´eaire altern´ee. Soit x,y etz trois vecteurs de E, de coordonn´ees respectives dans B _x

x12

x3 , _y1

y2

y3 et _z

z12

z3

fpx, y, zq fpx1e1 x2e2 x3e3, y1e1 y2e2 y3e3, z1e1 z2e2 z3e3q . . .

D´efinition. On appelled´eterminant de la famille px, y, zq dans la base pe₁, e₂, e₃q l’expression : x₁y₂z₃ x₂y₃z₁ x₃y₁z₂x₁y₃z₂x₂y₁z₃x₃y₂z₁

qui correspond `a la forme trilin´eaire altern´ee telle que fpe1, e2, e3q 1.

2.3 Formes n-lin´eaires altern´ees sur un e.v. de dimension n

Construction. SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn, soitB pe1, . . . , enqune base deE etf une forme n-lin´eaire altern´ee surE.

Soit px1, . . . , xnq une famille de n vecteurs deE, dont les coordonn´ees respectives dans la base B sont not´ees

a1j

a2j

...

anj

.

Construction. On a alors : Construction.

Remarque.

2.4 D´eterminant dans une base

D´efinition. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, de base B pe1, . . . , enq. On appelle d´eterminant dans la base B l’application :

det_B : Eⁿ Ñ K

px₁, . . . , x_nq ÞÑ ¸

σPSn

εpσqa_σp1q1. . . a_σpnqn

o`u

a1j

a2j

...

anj

sont les coord. dexj relativement `a la baseB.

Lemme.L’application det_B est une formen-lin´eaire altern´ee de E.

Elle est non nulle car prend la valeur 1 sur B.

Th´eor`eme.

L’espace vectoriel Λ_npEq est une droite vectorielle engendr´ee pardet_B. 2.5 Utilisation du d´eterminant

2.5.1 Changement de base Th´eor`eme.

SoitBetB¹ deux bases d’un espace vectorielE. Pour toute famille deX px1, . . . , xnqde vecteurs

de E, on a :

det_B1pXq det_B1pBq det_BpXq Remarque.

Corollaire.

det_BpB¹q det_B¹1pBq

2.5.2 Caract´erisation des bases Th´eor`eme.

SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn,Bune base deEetpx1, . . . , xnqune famille de vecteurs

de E. Alors :

px₁, . . . , x_nq base deE ðñ det_Bpx₁, . . . , x_nq 0

2.5.3 Orientation des espaces vectoriels r´eels

D´efinition. Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie. Soit B et B¹ deux bases de E. On dit que B et B¹ ontmˆeme orientationsi et seulement si det_BpB¹q ¡0

Remarque.

Propri´et´e. C’est une relation d’´equivalence, c’est-`a-dire une relation r´eflexive, sym´etrique et transitive.

D´efinition. Orienter l’espace E, c’est choisir une base B et l’appeler base directe. Les bases de mˆeme

orientation que B sont ditesdirectes, les autres indirectes our´etrogrades.

3 D´ eterminant d’un endomorphisme

3.1 D´efinition Construction.

Construction.

D´efinition.On appelled´eterminant de l’endomorphismeul’unique scalaire not´e detpuqtel que pour toute base B, pour toutpx1, . . . , xnq :

det_Bpupx1q, . . . , upxnqq detpuqdet_Bpx1, . . . , xnq

Proposition. Pour tout base B pe1, . . . , enqde E, on a detpuq det_Bpupe1q, . . . , upenqq. Exemple.

3.2 Propri´et´es Th´eor`eme.

SoitE K-espace vectoriel de dimension n,u, vPLpEq etkP K. On a :

detpuvq detpuq detpvq

detpkuq kⁿdetpuq

Th´eor`eme.

SoitE K-espace vectoriel de dimension n,uPLpEq. On a :

u bijectif ðñ detpuq 0

Dans ce cas detpu¹q _det¹_puq

Remarque.

4 D´ eterminant d’une matrice carr´ ee

4.1 D´efinition

D´efinition. Soit A

a11 a1n

a_n1 a_nn

PMnpKq. La matrice A repr´esente

• une famille de nvecteurs de Kⁿ dans une base B;

• un endomorphisme de Kⁿ relativement `a une base B.

On appelled´eterminant de A le d´eterminant de cette famille de vecteurs dans la base B, ou encore (c’est la

mˆeme chose), le d´eterminant de cet endomorphisme :

detA

a11 a1n

a_n1 a_nn

¸

σPSn

εpσqa_σp1q1a_σp2q2. . . a_σpnqn

4.2 Propri´et´es Rappel.

Th´eor`eme.

Pour toutA, BPMnpKq et toutkP K:

detpABq detpAq detpBq detpkAq kⁿdetpAq

APGLnpKq ðñ detA0 Dans ce cas, detpA¹q _det¹_A

Proposition. Deux matrices carr´ees semblables ont mˆeme d´eterminant.

Th´eor`eme.

Pour toutAPMnpKq:

detp^tAq detpAq Remarque.

5 Calcul pratique du d´ eterminant

5.1 Cas d’une matrice triangulaire ou diagonale R´esultat.

a₁₁

BB

BB

BB

BB

BB

BB

BB♠

AA

AA

AA

A ♠

0

♠

0 0 a_nn

a11a22. . . ann

Remarque.

5.2 Op´erations ´el´ementaires sur les lignes et les colonnes R´esultat. Soit APMnpKq une matrice. Alors :

• Le d´eterminant est chang´e en son oppos´e lorsque l’on ´echange deux colonnes (resp. deux lignes) de la matrice ;

• Le d´eterminant est multipli´e parklorsque l’on multiplie parkune colonne (resp. une ligne) de la matrice ;

• Le d´eterminant est inchang´e lorsque l’on ajoute `a une colonne (resp. une ligne) de la matrice α-fois une autre.

G´en´eralisation. Une permutation des colonnes (resp. des lignes) d’un d´eterminant multiplie celui-ci par la signature de la permutation.

Utilisation. Pour le calcul d’un d´eterminant, on peut effectuer une successions d’op´erations ´el´ementaires sur les lignes et les colonnes pour se ramener au d´eterminant d’une matrice triangulaire, qui est le produit de ses termes diagonaux.

Remarque. Attention ! Exemple. CalculonsD

2 1 0 1 2 1 0 3 4 3 1 2 2 3 3 2

5.3 D´eveloppement selon une ligne ou une colonne Etude.´ Soit D

a11 a1n

a_n1 a_nn

. Le j^`eme vecteur-colonne est

a1j

... anj

¸n i1

a_ije_i o`u les e<sub>i</sub> d´esignent les vecteurs de la base canonique deK<sup>n</sup>. On peut appliquer le lin´earit´e du d´eterminant par rapport `a la j^`eme colonne pour ´ecrire :

Suite de l’´etude.

D

¸n i1

aij

a11 a_1,j1 0 a_{1,j 1} a_1,n

0

a_i1 ai,j1 1 ai,j 1 ai,n

0

a_n1 a_n,j1 0 a_{n,j 1} a_n,n

looooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooon

Aij

D´efinition. Le d´eterminantAij s’appelle lecofacteur du coefficient aij.

Suite de l’´etude. On effectue des permutations pour ramener le coefficient 1 en positionp1,1q. Suite de l’´etude.

Aij

a11 a1,j1 0 a1,j 1 a1n

ai1,1 ai1,j1 0 ai1,j 1 ai1,n

ai1 ai,j1 1 ai,j 1 ain

ai 1,1 ai 1,j1 0 ai 1,j 1 ai 1,n

an1 a_n,j1 0 an,j 1 ann

p1q^j1

0 a11 a1,j1 a1,j 1 a1n

0 ai1,1 ai1,j1 ai1,j 1 ai1,n

1 ai1 ai,j1 ai,j 1 ain

0 ai 1,1 ai 1,j1 ai 1,j 1 ai 1,n

0 an1 a_n,j1 an,j 1 ann

p1q^j1p1qⁱ¹

1 ai1 ai,j1 ai,j 1 ain

0 a11 a1,j1 a1,j 1 a1n

0 ai1,1 ai1,j1 ai1,j 1 ai1,n

0 ai 1,1 ai 1,j1 ai 1,j 1 ai 1,n

0 an1 a_n,j1 an,j 1 ann

looooooooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooooooon

∆_ij

D´efinition. ∆ij s’appelle lemineur du coefficient aij.

Proposition. ∆_ij est obtenu `a partir de Den supprimant la ligne iet la colonnej.

Propri´et´e. Le cofacteur A_ij de a_ij est p1q^{i j}∆_ij, o`u ∆<sub>ij</sub>, le mineur de a<sub>ij</sub>, est le d´eterminant obtenu en supprimant lai<sup>`eme</sup> ligne et laj^`eme colonne de D.

D

¸n i1

aijp1q^{i j}∆ij

Cette ´ecriture s’appelle led´eveloppement de D par rapport `a la j<sup>`eme</sup> colonne.

Remarque. Il y a un r´esultat analogue pour le d´eveloppement par rapport `a une ligne, en utilisant l’invariance du d´eterminant par transposition.

Exemple. Calculer

x1 2 3 y 2 1 0

z 2 1

.

Exemple. CalculerDn 2

<<

<<

<<

<<

<<

<<

<<

<<1

<<

<<

<<

<<

<<

<0 0

1

<<

<<

<<

<<

<<

<

0 0

1

0 0 1 2

n

Remarque.

6 Utilisation du d´ eterminant

6.1 Libert´e d’une famille de vecteurs Th´eor`eme.

SoitE un K-espace vectoriel de dimension n, de baseB.

Soit px1, . . . , xpq une famille de p vecteurs deE, avec p¤n.

On note Ala matrice depx₁, . . . , x_pq dansB.

Alorspx₁, . . . , x_pq est libre si et seulement sil’un au moins des d´eterminants form´e parplignes deAest non nul.

Exemple. DansR⁴, montrer que pu, v, wq est une famille libre, avec :

u p1,2,3,4q v p2,4,6,1q w p0,1,2,0q

6.2 Rang d’une matrice, d’une famille de vecteurs Rappel-remarque.

D´efinition.On appelled´eterminant extrait d’ordre kd’une matricele d´eterminant d’une matrice obtenu en ne conservant que les termes de klignes et kcolonnes de la matrice.

Propri´et´e. Le rang d’une famille de vecteurs de matrice A dans une base B, ou le rang d’une matrice A, est

le plus grand entier r tel qu’il existe un d´eterminant d’ordre r extrait de A qui soit non nul, c’est-`a-dire

rgXrgAr si et ssi

#

il existe un d´eterminant extrait non nul d’ordrer les determinants extraits d’ordrer 1 sont nuls

Exemple. D´eterminer le rang deA

1 1 0 2

1 0 1 1

1 1 0 2

6.3 Expression de l’inverse d’une matrice inversible

D´efinition. SoitAPMnpKq. On appellecomatrice de Ala matrice dont les coefficients sont les cofacteurs des coefficients de A:

CompAq p1q^{i j}∆_ij

1¤i,j¤n

Remarque.

Th´eor`eme.

@APMnpKq, A^tCompAq ^tCompAq AdetpAqI_n

Ainsi, si detA0, on a :

A¹ 1

detA

tCompAq

Remarque.

Exemple. Chercher l’inverse deA

0 1 1 2 0 1 1 1 0

6.4 Formules de Cramer

R´esultat. Soit AX B un syst`eme de Cramer. L’unique solution estX

x1

... xn

o`u

xj

a11 a_1,j1 b1 a_{1,j 1} a1n

a_n1 a_n,j1 bn a_{n,j 1} a_nn

detA

Remarque.

Exemple. R´esoudre le syst`eme pSq

$&

%

2x1 x2 x3 1 x₁ 2x₂ x₃ 0 x₁ x₂ 3x₃ 2

Calculsded´eterminants 35.1Calculerlesd´eterminantssuivants,endonnantlaformela plusfactoris´eepossible(pa,b,c,xqPC4 ) D1 abc2a2a 2bbac2b 2c2ccab D2

1x2x3x 2x3x4x 3x4x5x

D3

abbcca a2 b2 b2 c2 c2 a2 a3 b3 b3 c3 c3 a3

D4

ababa2 b2 bcbcb2 c2 cacac2 a2

det_1.tex 35.2Soitpa,b,c,dqPC4 ,lamatriceA 1aa2 1bb2 1cc2 etlesyst`eme pSq$ & %

xyz1 axbyczd a2xb2yc2zd2 (a)D´emontrerqueAestinversiblesietseulementsia,betcsont distinctsdeux`adeux,encalculantsond´eterminantsousforme factoris´ee. (b)End´eduiredanscecaslessolutionsdusyst`emepSq. det_5.tex 35.3EnintroduisantlamatriceA 1300 0240 0035 0004 ,calculer:

12a33a2 4a4a3 5a2 12b33b24b4b35b2 12c33c2 4c4c3 5c2 12d33d2 4d4d3 5d2

det_10.tex 35.4Soitlamatrice: A 1i1i1 12i1ii 2i01i Montrerd’abordqueAestinversible.Proposerensuiteplusieursm´e- thodespourd´eterminerA1 etcalculerA1 .det_11.tex 35.5Pourpa,b,c,α,β,γqPR6 ,calculer: D

aiααiaaα biββibbβ ciγγiccγ

det_12.tex Propri´et´esdesd´eterminants 35.6SoitJ

111 1jj2 1j2 j etA abc cab bca

o`ujei2π 3, pa,b,cqPC3 . (a)Montrerqu’ilexisteunematriceDdiagonaletellequeAJJD. (b)End´eduirelafactorisationdansCdedetA. det_2.tex 35.7Montrerqu’iln’existeaucunendomorphismedeR3 v´erifiant ffIdR3.Etsil’onremplaceR3parR2?det_4.tex 35.8Onconsid`ereER3 munidelabasecanoniqueB.Soit fPLpR3 qd´efiniparMatpf,Bq

0b0 b0b 0b0

o`ubPR .Soit Dpxq xb0 bxb 0bx . (a)D´emontrerquelessolutionsdel’´equationDpxq0sontlesr´eels λtelsquelesous-e.v.HλtuPR3 t.q.fpuqλuunesoitpas r´eduit`at0R3u. (b)R´esoudrel’´equationDpxq0,etpourtouteslessolutionsλ obtenues,d´eterminerunebasedeHλ.

(c)End´eduirequ’ilexisteunebasedeR3 danslaquellelamatrice defestdiagonale. det_6.tex 35.9Dansleplanaffinemunid’unrep`ereorthonorm´e,onconsid`ere lesdroitesd’´equations: pDmq:pm2qxp12mqy3m5 p∆mq:p2m1qxp2mqym3 (a)m´etantunparam`etrevariantdansR,montrerquechacunede cesfamillesdedroitespassentparunpointfixe. (b)Utiliserlesd´eterminantspourd´eterminerlapositionrespective decesdroitesetlescoordonn´eesdeleurpointd’intersectionHm, s’ilexiste. (c)D´eterminerlelieug´eom´etriquedeHmlorsquemvarie. det_7.tex 35.10Montrerquef:pA,BqÞÑtrABestuneformebilin´eaire. Est-ellealtern´ee?antisym´etrique?det_9.tex 35.11Soitfl’endomorphismedeR3 dontlamatricedanslabase canoniqueestdonn´eeci-dessous. (a)D´eterminerlesr´eelsλpourlesquelsfλIdR3n’estpasinversible. (b)D´eterminerlesnoyauxdesfλIdR3pourlesλobtenus. (c)End´eduireunebasedeR3 danslaquellelamatricedefest simple. (a)A 421 241 111 . (b)B 010 101 010 . (c)C 204 3412 125 .

(d)D

402 010 513

. det_13.tex 35.12SoitnPN ,APGLnpRqetBPMnpRq.Montrerqu’ilexiste ε¡0telque: @xPR,|x| εùñAxBPGLnpRq det_16.tex D´eterminantsd’ordreplus´elev´e 35.13Soitn¥3etpx1,...,xnqPCn .Calculer: Vpx1,...,xnq 1x1x^{2 1}xn1 1 1x2x^{2 2}xn1 2 1xnx2 nxn1 n

det_14.tex 35.14SoitAn

01 <<<<<<<<<<<00 1 <<<<<<<<<<< 00 1 0010

PMnpRqetPnpλq detpAnλInqpourλPR. (a)Trouverunerelationder´ecurrenceliantPn,Pn1etPn2pn¥ 3q. OnpourraposerP01pourl’´etendre`an¥2. (b)Pourλ2,d´eterminerl’expressiondePnpλq. (c)PourλPs2,2r,poserλ2cosθpourd´eterminerl’expression dePnpλq. (d)R´esoudrel’´equationPnpλq0.

det_17.tex 35.15SoitxPRfix´e.Onpose: ∆n 1x2 GGGGGGGGGGGGGGGGGGx EEEEEEEEEEEEE00 x EEEEEEEEEEEEE 00 x 00x1x2

Onposeun∆n∆n1.Montrerquepunqn¥2estg´eom´etriqueeten d´eduirelavaleurde∆n.det_18.tex 35.16Pourn¥p,ond´efinit: Dp,n 1n 1n p 1n1 1n1 p 1np 1np p ExprimerDp,nenfonctiondeDp1,n.End´eduireDp,n. det_20.tex 35.17SoitAlamatricedeM2npRqsuivante(a,bPR): a <<<<<<<00b 0000 0ab0 0ba0 0000 b

a00

< << < < < <

(a)Soit∆ndetA.D´eterminer∆n. (b)` AquelleconditionlamatriceAest-elleinversible?Calculeralors A1 . det_21.tex