D´ eterminant de Gram

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

D´ eterminant de Gram

Partie A – D´ eterminant de Gram en dimension 3

A.1 Sous les hypoth`eses de l’´enonc´e, la matrice de Gram est diagonale, et son d´eterminant est donc le produit de ses coefficients diagonaux :

G(u, v, w) =kuk²kvk²kwk² A.2On calcule dans ce cas :

G(u, v, w) =G(u, v)kwk²

A.3SiBetB⁰ sont deux bases orthonorm´ees deE, on a d’une part detB⁰(u, v, w) = detB⁰(B) detB(u, v, w), et d’autre part det_B⁰(B) =±1 (les deux bases sont orthonorm´ees), ce qui fournit le r´esultat.

A.4G(u, v, u∧v) =G(u, v)ku∧vk² d’apr`es A.2, mais aussi, d’apr`es le r´esultat admis, G(u, v, u∧v) = (det

B (u, v, u∧v))²=ku∧vk⁴.

Le r´esultat demand´e est donc acquis siku∧vk 6= 0. Il est ´egalement vrai siku∧vk= 0,i.e.lorsqueuetv sont colin´eaires. En effet, c’est clair si uest nul, et sinon, il existe un r´eel non nulλtel quev=λu, ce qui conduit `a

G(u, v) =

u·u λu·u λu·u λ²u·u

= 0.

Partie B – D´ eterminant de Gram en dimension finie

B.1Comme la baseB est orthonorm´ee, on a, pour tousiet j entiers de [[1, n]] :

gi,j=

n

X

k=1

uk,iuk,j

B.2

a Le coefficient en position (i, j) de^tAest u⁰_i,j =u_j,i, et le r´esultat en d´ecoule, d’apr`es la d´efinition du produit matriciel.

bOn d´eduit de ce qui pr´ec`ede, et des propri´et´es du d´eterminant, que G(u1, . . . , un) = (detA)²>0

cG(u1, . . . , un) est non nul si et seulement si detA6= 0,i.e.(u1, . . . , un) est libre (A est la matrice de (u1, . . . , un) dansB).

Partie C – Une propri´ et´ e des ellipses

C.1

a On a bien sˆurA⁰=AS.

b A⁰, matrice de changement de base entre deux bases orthonormales pour un mˆeme produit scalaire (icif1), est orthogonale.

cCommeG0=^tAA etG1=^tA⁰A⁰, on obtient :

G1=^tA⁰A⁰ =^t(AS)AS =^tS^tAAS=^tSG0S

C.2S´etant orthogonale,^tS=S⁻¹, et les matricesG0 etG1sont donc semblables. En tant que telles, elles ont mˆeme d´eterminant et mˆeme trace, ce qui peut s’´ecrire

G(u1, u2) =G(u⁰₁, u⁰₂) et ku1k²+ku2k²=ku⁰₁k²+ku⁰₂k².

C.3Il est clair quef1 est une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive surE,i.e.est un produit scalaire surE.

C.4 Un vecteur directeur deT est −−−→

OM⁰ = (x_M⁰, y_M⁰). La courbeC est une ligne de niveau de la fonction f : (x, y) 7→ ^x_a2² + ^y_b2², et la tangente en M `a C admet donc −−−→

f(M) = (^2x_a^M₂ ,^2x_b2^M) comme vecteur normal. Les vecteurs−−−→

OM⁰ et−−−→

f(M) sont orthogonaux pour le produit scalaire usuel, d’o`u xMxM⁰

a² +yMyM⁰

b² = 0, i.e.f1(−−→

OM ,−−−→ OM⁰) = 0.

Remarque : il n’´etait pas n´ecessaire de passer par le gradient pour r´epondre `a la question . . . C.5(−−→

OM ,−−−→

OM⁰) et ((a,0),(0, b)) sont deux bases orthonormales deEpour le produit scalairef₁: les formules OM²+OM⁰²=a²+b² etG(−−→

OM ,−−−→

OM⁰) =a²b² sont donc des applications directes de C.2.

Partie D – Exemple de convergence en moyenne quadratique

D.1Afin de d´eterminer ces scalairesλk, on exprime l’orthogonalit´e dex−xF avec tous les ej. Le syst`eme lin´eaire ainsi obtenu, dep´equations `apinconnues (lesλk) est de Cramer, car son d´eterminant n’est autre que G(e1, . . . , ep) (non nul d’apr`es B.2.b). Les formules de Cramer permettent d’´ecrire :

λk =

. . . e1·x . . . (ei·ej) ...

... . . . e_p·x . . .

G(e1, . . . , ep) pour toutk∈[[1, n]], o`u la colonne en gras est lak-i`eme.

D.2D’apr`es le cours,d(x, F)²=kx−x_Fk²= (x−xF)·(x−xF) =x·(x−xF)−x_F·(x−xF) =x·(x−xF), puisquex_F ∈F etx−x_F ∈F^⊥.

D.3Dans la matrice Gram(x, e1, . . . , en), changer la premi`ere colonneC1enC1−Pn

k=1λkCk+1(lesλk sont d´efinis en D.1) ne modifie pas le d´eterminant de Gram, et change la premi`ere colonne en











x·(x−xF) e1·(x−xF)

... en·(x−xF)









 ,

colonne dont tous les termes sont nuls, sauf le premier. Un d´eveloppement du d´eterminant par rapport `a sa premi`ere colonne, assist´e de D.2, permet de conclure :

d(x, F) = s

G(x, e₁, . . . , e_p) G(e1, . . . , ep)

D.4Une famille de polynˆomes `a degr´es ´echelonn´es est libre, ce qui prouve le r´esultat demand´e (la preuve directe de la libert´e est, ici, tout aussi simple).

D.5un est le carr´e de la distance du polynˆome 1 `a En, ce qui permet d’´ecrire, grˆace `a D.3 :

un= G(1, X, . . . , Xⁿ) G(X, . . . , Xⁿ)

D.6Un calcul simple montre que, pour tout (i, j)∈[[0, n]]²,Xⁱ·X^j= _i+j+1¹ . La question pr´ec´edente donne alors :

u²_n= D(0,1,2, . . . , n) D(1,2, . . . , n) =

det















1 ¹₂ ¹₃ . . . _n+1¹

1 2

1 3

1

4 . . . _n+2¹

1 3

1 4

1

5 . . . _n+3¹ ... ... ... ...

1 n+1

1

n+2 . . . _2n+1¹















det















1 3

1

4 . . . _n+2¹

1 4

1

5 . . . _n+3¹

1 5

1

6 . . . _n+3¹ ... ... ...

1

n+2 . . . _2n+1¹















D.7La fraction rationnelleψ_nest de degr´e strictement n´egatif, puisque somme de telles fractions rationnelles (d´evelopperψ_npar rapport `a sa premi`ere colonne). Ses ´eventuels pˆoles sont tous simples, et sont `a prendre dans {−(n+ 1), . . . ,−1} : ψ<sub>n</sub> admet au plus n+ 1 pˆoles compt´es avec leurs ordres de multiplicit´e. Elle poss`ede par ailleurs au moinsn racines, `a savoir 1,2. . . , n(puisque pour les ´evaluations en ces points, le d´eterminant d´efinissantψ<sub>n</sub> poss`ede deux colonnes identiques).

Ces contraintes imposent l’existence d’un r´eel αn tel que

ψn=αn

(X−1)(X−2). . .(X−n) (X+ 1)(X+ 2). . .(X+n+ 1)

D.8 La partie polaire deψn relativement au pˆole −1 s’´ecrit _X+1^ζ , pour un certain r´eel (non nul) ζ. On a d’une part

ζ=α_n(−2). . .(−1−n)

n! =α_n(−1)ⁿ(n+ 1) (multiplication parX+ 1 puis ´evaluation en−1), et d’autre part

ζ=D(1,2. . . , n)

(d´eveloppement du d´eterminant d´efinissantψn par rapport `a sa premi`ere colonne).

On a donc

αn(−1)ⁿ(n+ 1) =D(1,2, . . . , n).

D.9D’une part,ψ_n(0) =α_n⁽⁻¹⁾_(n+1)ⁿ (´evaluation directe), et d’autre part,ψ_n(0) =D(0,1,2, . . . , n) (´evaluation en 0 deψ_n sous forme de d´eterminant). Il vient donc, au vu de D.6 et D.8,u_n= _(n+1)¹ ₂.